Examkin

Question

Difficulty: MediumBinom Açılımı
(2x−y2)n(2x - y^2)^n ifadesinin açılımında terimlerden biri A⋅x4⋅y6A \cdot x^4 \cdot y^6 olduğuna göre, AA katsayısı kaçtır?
  1. A
    560
  2. B
    280
  3. -560Answer
  4. D
    -280
  5. E
    -35

Answer

Binom açılımında verilen terimin katsayısı −560-560 olarak bulunur.
Verilen terimde y6y^6 elde etmek için (−y2)(-y^2) ifadesinin küpü (r=3r=3) alınmalıdır. x4x^4 elde etmek için ise (2x)(2x) ifadesinin 4. kuvveti (n−r=4n-r=4) alınmalıdır. Buradan n=7n=7 bulunur. Katsayı (73)⋅24⋅(−1)3=35⋅16⋅(−1)=−560\binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
nn ve rr değerlerini belirlemek için genel terim formülünü yazın.
(nr)(2x)n−r(−y2)r=A⋅x4⋅y6\binom{n}{r} (2x)^{n-r} (-y^2)^r = A \cdot x^4 \cdot y^6
Binom açılımında her terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r formuna uygundur.
2
yy değişkeninin üssünden faydalanarak rr değerini bulun.
(−y2)r=(−1)ry2r⇒2r=6⇒r=3(-y^2)^r = (-1)^r y^{2r} \Rightarrow 2r = 6 \Rightarrow r = 3
y6y^6 terimine ulaşmak için y2y^2 ifadesinin 3. kuvveti alınmalıdır.
3
xx değişkeninin üssünden faydalanarak nn değerini bulun.
xn−r=x4⇒n−3=4⇒n=7x^{n-r} = x^4 \Rightarrow n - 3 = 4 \Rightarrow n = 7
Açılımdaki terimlerin üsleri toplamı nn değerine eşittir (n−r+rn-r+r değil, orijinal terimlerin üsleri toplamı).
4
Katsayıyı (AA) hesaplayın.
A=(73)⋅27−3⋅(−1)3=35⋅24⋅(−1)=35⋅16⋅(−1)=−560A = \binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 2^4 \cdot (-1) = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560
Kombinasyon, katsayı kuvveti ve terim işaretinin çarpımı katsayıyı verir.

Key Concept

Binom Açılımında Genel Terim Bulma

Hints

1
Genel terim formülünü kullanın: (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r
2
(−y2)r(-y^2)^r ifadesinin y6y^6 verebilmesi için rr kaç olmalıdır?
3
r=3r=3 ve n−r=4n-r=4 olduğunda katsayıyı hesaplarken hem 242^4 ifadesini hem de (−1)3(-1)^3 işaretini unutmayın.

Practice More

Benzer şekilde, sabit terim veya rasyonel terimlerin katsayılarını bulma soruları çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic