Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir x sayısı için, aşağıda verilen durumlardan hangisinin… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $x$ sayısı için, aşağıda verilen durumlardan hangisinin gerçekleşmesi $x$ sayısının irrasyonel ( $\mathbb{Q}'$ ) olduğunun kesin kanıtıdır?

A
Karesinin ( $x^2$ ) rasyonel bir sayı olması
B
Ondalık açılımının sonsuz basamaklı olması
$\sqrt{5}$ sayısı ile toplamının rasyonel bir sayı olmasıAnswer
D
$\sqrt{2}$ sayısı ile çarpımının rasyonel bir sayı olması
E
İki irrasyonel sayının toplamı olarak ifade edilebilmesi

Answer

\sqrt{5}

sayısı ile toplamının rasyonel bir sayı olması,

x

'in irrasyonel olduğunun kesin kanıtıdır.

Rasyonel sayılar kümesi (

\mathbb{Q}

) ile İrrasyonel sayılar kümesi (

\mathbb{Q}'

) ayrık kümelerdir. Bir rasyonel sayı (

r

) ile bir irrasyonel sayının (

\sqrt{5}

) toplamı veya farkı daima irrasyoneldir. Eğer

x + \sqrt{5} = r

(rasyonel) ise,

x = r - \sqrt{5}

olmak zorundadır. Rasyonel bir sayıdan irrasyonel bir sayı çıkarıldığında sonuç kesinlikle irrasyoneldir. Bu nedenle bu koşul,

x

'in irrasyonel olduğunun kesin kanıtıdır.

Step-by-Step Solution

Seçenek C'yi analiz et

x + \sqrt{5} = r

(

r \in \mathbb{Q}

) eşitliğini kur.

Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökmek için.

x

'i yalnız bırak ve kümeleri incele

x = r - \sqrt{5}

bulunur.

x

sayısının yapısını görmek için.

Rasyonel ve İrrasyonel sayıların farkının özelliğini kullan

Rasyonel bir sayıdan (

r

), irrasyonel bir sayı (

\sqrt{5}

) çıkarıldığında sonuç daima irrasyoneldir. Bu nedenle

x

kesinlikle

\mathbb{Q}'

kümesindedir.

\mathbb{Q} - \mathbb{Q}'

işlemi kapalı değildir ve daima

\mathbb{Q}'

üretir.

Key Concept

İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

Hints

Şıklardaki her bir ifade için,

x

yerine rasyonel bir sayı koyarak ifadenin sağlanıp sağlanamayacağını (aksi örnek) deneyin.

Practice More

Rasyonel ve irrasyonel sayıların çarpımının her zaman irrasyonel olup olmadığını (sıfır durumu) inceleyen sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Topics

More questions from this topic