Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

aa ve bb birer irrasyonel sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    a ⋅ b çarpımı bir irrasyonel sayıdır.
  2. B
    a² sayısı bir rasyonel sayıdır.
  3. a + b toplamı rasyonel sayı ise a - b farkı irrasyonel sayıdır.Answer
  4. D
    a / b oranı bir rasyonel sayıdır.
  5. E
    a + b toplamı rasyonel sayı ise a ⋅ b çarpımı da rasyonel sayıdır.

Answer

a + b toplamı rasyonel sayı ise a - b farkı irrasyonel sayıdır seçeneği doğrudur.
İki sayının toplamı (a+ba+b) rasyonel ise ve sayılardan biri (bb) irrasyonel ise, farkları (a−ba-b) kesinlikle irrasyoneldir. İspatı şöyledir: a+b=qa+b=q (rasyonel) olsun. Bu durumda a−b=(a+b)−2b=q−2ba-b = (a+b) - 2b = q - 2b olur. Rasyonel bir sayıdan (qq), irrasyonel bir sayının 2 katı (2b2b) çıkarıldığında sonuç daima irrasyoneldir. Diğer seçenekler için karşıt örnekler mevcuttur.

Step-by-Step Solution

1
Seçenekleri analiz etmek için karşıt örnek (aksine örnek) verme yöntemini kullanın.
Genel ifadelerin yanlışlığını göstermek için tek bir istisna yeterlidir.
'Daima doğrudur' sorularında yanlış seçenekleri elemek en güvenilir yoldur.
2
Çarpım ve kare alma seçeneklerini (A, B, D, E) test edin.
a=2a=\sqrt{2} ve b=2b=\sqrt{2} için a⋅b=2a \cdot b = 2 (Rasyonel) →\rightarrow A elenir. a=2+1a=\sqrt{2}+1 için a2=3+22a^2 = 3+2\sqrt{2} (İrrasyonel) →\rightarrow B elenir. a=2a=\sqrt{2} ve b=3b=\sqrt{3} için a/ba/b irrasyoneldir →\rightarrow D elenir.
Bu örnekler, verilen önermelerin her zaman geçerli olmadığını kanıtlar.
3
Doğru seçeneği (C) cebirsel olarak kanıtlayın.
a+b=ra+b = r (r∈Qr \in \mathbb{Q}) olsun. Buradan a=r−ba = r-b yazılır. a−ba-b ifadesinde yerine koyarsak: (r−b)−b=r−2b(r-b)-b = r-2b. bb irrasyonel olduğundan 2b2b de irrasyoneldir. Rasyonel bir sayıdan (rr) irrasyonel bir sayı (2b2b) çıkarılırsa sonuç irrasyonel olur.
Sıfırdan farklı rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı/farkı daima irrasyoneldir prensibi kullanılır.

Key Concept

İrrasyonel Sayıların Özellikleri ve İşlemleri

Hints

1
Seçeneklerin doğruluğunu test etmek için aa ve bb yerine basit değerler (örneğin 2\sqrt{2}, −2-\sqrt{2}, 2+1\sqrt{2}+1) vererek elemeye çalışın.
2
Bir seçenekte 'a+b rasyonel ise' şartı varsa, a+b=qa+b=q diyerek aa sayısını q−bq-b şeklinde ifade edin ve istenen durumu kontrol edin.
3
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı veya farkı daima irrasyoneldir. a−b=(a+b)−2ba-b = (a+b) - 2b eşitliğini kullanarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: a=2+3a = 2+\sqrt{3} ve b=2−3b = 2-\sqrt{3} seçin. aa ve bb irrasyoneldir. Toplamları 44 (Rasyonel). Farkları 232\sqrt{3} (İrrasyonel). Bu örnek doğrudan doğru cevabı destekler ve çarpımın (4−3=14-3=1) rasyonel olduğu özel durumu gösterir, ancak çarpım her zaman rasyonel olmak zorunda değildir (Örn: S=4,P=2S=4, P=\sqrt{2} durumu).
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

More questions from this topic