Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

xx ve yy sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, x+yx + y toplamının ve x⋅yx \cdot y çarpımının birer rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    x ve y rasyonel sayılardır.
  2. B
    x - y farkı rasyonel bir sayıdır.
  3. x² + y² toplamı rasyonel bir sayıdır.Answer
  4. D
    x irrasyonel bir sayı ise y rasyonel bir sayıdır.
  5. E
    x³ ifadesi rasyonel bir sayıdır.

Answer

x² + y² ifadesinin rasyonel olduğu kesindir.
Verilen ifadenin doğruluğunu tam kare özdeşliği kullanarak ispatlayabiliriz. Matematikte (x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy eşitliği vardır. Bu eşitlikten x2+y2x^2 + y^2 ifadesini çekersek: x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy elde ederiz. Soruda x+yx+y ifadesinin rasyonel olduğu verilmiştir; rasyonel bir sayının karesi de rasyoneldir. Ayrıca x⋅yx \cdot y ifadesinin rasyonel olduğu verilmiştir; bir rasyonel sayının 2 ile çarpımı da rasyoneldir. Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı olduğundan, iki rasyonel sayının farkı yine rasyoneldir. Dolayısıyla x2+y2x^2 + y^2 daima rasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen bilgileri analiz et
x + y ∈ ℚ (Rasyonel) ve x·y ∈ ℚ (Rasyonel) olarak verilmiştir.
Soruda verilen öncüller matematiksel notasyona dökülür.
2
Örnek durumları test et
Durum 1: x=3, y=2 ise Toplam=5, Çarpım=6 (Her ikisi Rasyonel). Durum 2: x=√3, y=-√3 ise Toplam=0, Çarpım=-3 (Her ikisi Rasyonel).
Genelleme yapmadan önce hem rasyonel hem de irrasyonel (eşlenik) durumların şartları sağladığı görülmelidir.
3
Seçenekleri bu durumlara göre ele
Durum 2'de x ve y irrasyoneldir, bu yüzden 'x ve y rasyoneldir' seçeneği elenir. x - y = √3 - (-√3) = 2√3 (İrrasyonel), bu yüzden farkın rasyonel olduğu seçeneği elenir.
Aksi örnek (counter-example) yöntemi ile yanlış seçenekler elenir.
4
Doğru seçeneği cebirsel olarak kanıtla
x² + y² = (x + y)² - 2xy özdeşliği kullanılır. (x+y) rasyonel olduğundan karesi rasyoneldir. xy rasyonel olduğundan 2 katı rasyoneldir. İki rasyonel sayının farkı rasyoneldir.
Cebirsel ispat, sonucun seçilen sayılardan bağımsız olarak 'daima' doğru olduğunu gösterir.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Kapalılık Özellikleri

Hints

1
Sayıların kendisini bulmaya çalışmak yerine, verilen ifadelerden (toplam ve çarpım) istenen ifadeye (seçenekler) nasıl ulaşılabileceğini düşünün.
2
x ve y için sadece tamsayı veya rasyonel sayı örnekleri değil, köklü (irrasyonel) sayı örnekleri de deneyin. Özellikle birbirinin zıt işaretlisi olan köklü sayıları (eşlenik) düşünün.
3
(x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy tam kare özdeşliğini kullanarak x2+y2x^2 + y^2 ifadesini, bildiğimiz (x+y) ve (x·y) cinsinden yazmayı deneyin.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: x = √3 ve y = -√3 değerlerini verin. x+y=0 (Rasyonel), x.y=-3 (Rasyonel). Şartlar sağlandı. Şimdi seçenekleri test edin: A şıkkı (İkisi de irrasyonel) elenir. B şıkkı (Fark 2√3) elenir. E şıkkı (x³=3√3) elenir. Geriye kalan seçenekler üzerinde yoğunlaşın.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

More questions from this topic