Examkin

Question

Difficulty: MediumBinom Açılımı

(ax+y)5(ax + y)^5 ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılar toplamı 243243 olduğuna göre, bu açılımdaki x3y2x^3y^2 li terimin katsayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    20
  3. C
    40
  4. 80Answer
  5. E
    160

Answer

Verilen ifadedeki katsayılar toplamından yararlanarak a=2a=2 bulunur ve binom açılımı genel terim formülüyle x3y2x^3y^2 teriminin katsayısı 80 olarak elde edilir.
Katsayılar toplamı için x=1,y=1x=1, y=1 yazıldığında (a+1)5=243(a+1)^5 = 243 eşitliğinden a=2a=2 bulunur. İfade (2x+y)5(2x+y)^5 halini alır. Bu açılımda x3y2x^3y^2 terimi, formüldeki r=2r=2 durumuna karşılık gelir: (52)⋅(2x)3⋅y2=10⋅8x3y2=80x3y2\binom{5}{2} \cdot (2x)^3 \cdot y^2 = 10 \cdot 8x^3y^2 = 80x^3y^2. Bu nedenle katsayı 80'dir.

Step-by-Step Solution

1
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazılır.
(a⋅1+1)5=243  ⟹  (a+1)5=35(a\cdot 1 + 1)^5 = 243 \implies (a+1)^5 = 3^5
Bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamı, tüm değişkenlere 1 verilerek bulunur.
2
Elde edilen üslü denklemi çözerek aa değerini belirle.
a+1=3  ⟹  a=2a+1 = 3 \implies a = 2
Üsler eşit olduğunda tabanlar da eşit olmalıdır.
3
İfadeyi (2x+y)5(2x + y)^5 olarak yaz ve genel terim formülünü uygula.
Genel terim: (5r)⋅(2x)5−r⋅yr\binom{5}{r} \cdot (2x)^{5-r} \cdot y^r
Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n için genel terim (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle hesaplanır.
4
x3y2x^3y^2 terimini elde etmek için rr değerini belirle ve katsayıyı hesapla.
r=2r = 2 için; (52)⋅(2x)3⋅y2=10⋅8x3⋅y2=80x3y2\binom{5}{2} \cdot (2x)^3 \cdot y^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot y^2 = 80x^3y^2
yy'nin kuvveti 2 olduğundan r=2r=2 alınır. xx'in kuvveti ise 5−2=35-2=3 olur.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar toplamı bulma ve belirli bir terimin katsayısını hesaplama.

Hints

1
Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 yazarak başlayın.
2
Elde ettiğiniz aa değerini yerine yazarak (2x+y)5(2x+y)^5 ifadesine ulaşın.
3
Binom genel terim formülü olan (nr)An−rBr\binom{n}{r} A^{n-r} B^r ifadesinde n=5n=5 ve r=2r=2 değerlerini kullanarak katsayıyı hesaplayın.

Practice More

Benzer bir soruda ifadeyi (x−2y)6(x-2y)^6 şeklinde alarak sabit terimi bulmaya çalışabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic