Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Sayma)
xx ve yy birer pozitif tam sayı olmak üzere,
x!y!=210 \frac{x!}{y!} = 210

eşitliği veriliyor.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    39
  2. B
    419
  3. C
    447
  4. 458Answer
  5. E
    469

Answer

458
Eşitlik x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 şeklinde düşünüldüğünde, sol taraf ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 210 sayısını veren ardışık sayı grupları şunlardır: Tek başına 210 (bu durumda x=210,y=209x=210, y=209), 15⋅1415 \cdot 14 (bu durumda x=15,y=13x=15, y=13) ve 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 (bu durumda x=7,y=4x=7, y=4). Bu üç durumdan elde edilen x+yx+y değerleri sırasıyla 419, 28 ve 11'dir. Bunların toplamı 458 eder.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği düzenle ve anlamını belirle.
x!=210⋅y!x! = 210 \cdot y! ifadesi, x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 demektir. Bu, xx'ten başlayıp geriye doğru y+1y+1'e kadar olan ardışık tam sayıların çarpımının 210 olduğunu gösterir.
Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapıldığında geriye ardışık çarpanlar kalır.
2
210 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazabileceğin tüm durumları araştır.
1. Durum (1 Sayı): 210=210210 = 210. Buradan x=210x=210, y=209y=209.
2. Durum (2 Sayı): 15⋅14=21015 \cdot 14 = 210. Buradan x=15x=15, y=13y=13.
3. Durum (3 Sayı): 7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210. Buradan x=7x=7, y=4y=4.
Sayıları çarpanlarına ayırarak ardışıklık kontrolü yapılır. 3⋅4⋅5⋅6=3603 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360 olduğu için 4'lü çarpım yoktur.
3
Her durum için x+yx+y değerini hesapla ve topla.
1. Durum: 210+209=419210 + 209 = 419
2. Durum: 15+13=2815 + 13 = 28
3. Durum: 7+4=117 + 4 = 11
Toplam: 419+28+11=458419 + 28 + 11 = 458
Soruda olası tüm x+yx+y değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerin sadeleştirilmesi sonucu ortaya çıkan ardışık çarpanlar özelliği.

Hints

1
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, sadeleştirme yapıldığında xx'ten geriye doğru azalan ardışık sayıların çarpımına eşittir.
2
Çarpımları 210 eden ardışık sayı gruplarını arayın. Örneğin, 1414 ve 1515 sayılarını inceleyin.
3
210 sayısı üç farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olabilir: 1 sayı (kendisi), 2 sayı (15⋅1415 \cdot 14) ve 3 sayı (7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5). Her biri için x+yx+y hesaplayın.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic