Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Sayma)
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(2n)!+(2n−1)!(2n−1)!+n!+(n−1)!(n−2)!=48 \frac{(2n)! + (2n-1)!}{(2n-1)!} + \frac{n! + (n-1)!}{(n-2)!} = 48

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Answer
  4. D
    7
  5. E
    8

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen ifadede her iki kesir de en küçük faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirilir. Birinci kesir 2n+12n+1, ikinci kesir ise n2−1n^2-1 sonucunu verir. Toplamları n2+2n=48n^2+2n=48 denklemini oluşturur. Bu denklemin pozitif kökü 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin birinci terimini sadeleştirin.
(2n)!+(2n−1)!(2n−1)!=(2n−1)!⋅[2n+1](2n−1)!=2n+1\frac{(2n)! + (2n-1)!}{(2n-1)!} = \frac{(2n-1)! \cdot [2n + 1]}{(2n-1)!} = 2n + 1
Paydaki ifade (2n−1)!(2n-1)! parantezine alınarak payda ile sadeleştirilir.
2
Eşitliğin ikinci terimini sadeleştirin.
n!+(n−1)!(n−2)!=(n−1)!⋅[n+1](n−2)!=(n−2)!(n−1)(n+1)(n−2)!=(n−1)(n+1)=n2−1\frac{n! + (n-1)!}{(n-2)!} = \frac{(n-1)! \cdot [n + 1]}{(n-2)!} = \frac{(n-2)!(n-1)(n+1)}{(n-2)!} = (n-1)(n+1) = n^2 - 1
Paydaki ifade (n−1)!(n-1)! parantezine alınır, ardından (n−1)!=(n−1)(n−2)!(n-1)! = (n-1)(n-2)! dönüşümü ile payda sadeleştirilir.
3
Bulunan sadeleşmiş ifadeleri toplayıp denklemi çözün.
(2n+1)+(n2−1)=48⇒n2+2n=48(2n + 1) + (n^2 - 1) = 48 \Rightarrow n^2 + 2n = 48
Sadeleşmiş terimlerin toplamı 48'e eşitlenir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulun.
n2+2n−48=0⇒(n+8)(n−6)=0n^2 + 2n - 48 = 0 \Rightarrow (n+8)(n-6) = 0
Denklem çarpanlarına ayrılır.
5
Geçerli kökü belirleyin.
n=−8n = -8 veya n=6n = 6. nn pozitif tam sayı olduğu için n=6n=6 olmalıdır.
Negatif kök, faktöriyel tanımı ve sorudaki pozitif tam sayı koşulu gereği elenir.

Key Concept

Faktöriyel sadeleştirmeleri ve ikinci dereceden denkleme dönüşen ifadeler

Hints

1
Her kesirdeki pay ifadesini, o kesirdeki en küçük faktöriyel cinsinden paranteze alarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
(2n)!=(2n)(2n−1)!(2n)! = (2n)(2n-1)! ve n!=n(n−1)!n! = n(n-1)! özelliklerini kullanın. Ayrıca (n−1)!=(n−1)(n−2)!(n-1)! = (n-1)(n-2)! olduğunu hatırlayın.
3
Sadeleştirmeler sonucunda ifade n2+2n=48n^2 + 2n = 48 şeklinde ikinci dereceden bir denkleme dönüşür.

Practice More

Faktöriyelli ifadelerin sadeleştirilmesini içeren ve sonucunda rasyonel ifade veya denklem çözümü gerektiren başka sorular çözün.

Alternative Method

Şıklardaki değerleri doğrudan denklemde yerine koyarak deneme-yanılma yöntemiyle de çözüm bulunabilir, ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic