Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel (Sayma)
a=(6!)2 a = (6!)^2

b=5!⋅7! b = 5! \cdot 7!

c=4!⋅8! c = 4! \cdot 8!

olduğuna göre; a,ba, b ve cc sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. a<b<ca < b < cAnswer
  2. B
    a<c<ba < c < b
  3. C
    b<a<cb < a < c
  4. D
    c<b<ac < b < a
  5. E
    c<a<bc < a < b

Answer

Sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen sayılar birbirine oranlandığında; bb sayısının aa'nın 76\frac{7}{6} katı, cc sayısının ise bb'nin 85\frac{8}{5} katı olduğu görülür. Her iki oran da 1'den büyük olduğu için a<b<ca < b < c sıralaması elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
aa ve bb sayılarını birbirine oranlayarak karşılaştıralım.
ba=5!⋅7!6!⋅6!=5!⋅7⋅6!6⋅5!⋅6!=76\frac{b}{a} = \frac{5! \cdot 7!}{6! \cdot 6!} = \frac{5! \cdot 7 \cdot 6!}{6 \cdot 5! \cdot 6!} = \frac{7}{6}
Sayıları sadeleştirmek için büyük olan faktöriyelleri bir küçük olanlar cinsinden ifade ediyoruz (7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ve 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5!).
2
Elde edilen oranı yorumlayalım.
76>1 oldug˘u ic¸in b>a’dır.\frac{7}{6} > 1 \text{ olduğu için } b > a \text{'dır.}
İki pozitif sayının oranı 1'den büyükse, pay paydadan büyüktür.
3
bb ve cc sayılarını birbirine oranlayarak karşılaştıralım.
cb=4!⋅8!5!⋅7!=4!⋅8⋅7!5⋅4!⋅7!=85\frac{c}{b} = \frac{4! \cdot 8!}{5! \cdot 7!} = \frac{4! \cdot 8 \cdot 7!}{5 \cdot 4! \cdot 7!} = \frac{8}{5}
Benzer şekilde 8!=8⋅7!8! = 8 \cdot 7! ve 5!=5⋅4!5! = 5 \cdot 4! dönüşümlerini yaparak sadeleştirme uyguluyoruz.
4
Elde edilen oranı yorumlayalım.
85>1 oldug˘u ic¸in c>b’dir.\frac{8}{5} > 1 \text{ olduğu için } c > b \text{'dir.}
Oran 1'den büyük çıktığı için cc sayısı bb'den daha büyüktür.
5
Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirelim.
a<b ve b<c⇒a<b<ca < b \text{ ve } b < c \Rightarrow a < b < c
Sıralama bağıntısının geçişme özelliği gereği nihai sıralama bu şekilde oluşur.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerin sadeleştirilmesi ve birbirine oranlanarak karşılaştırılması.

Hints

1
Faktöriyel sayıların değerlerini hesaplamak imkansızdır, bu yüzden sayıları birbirine oranlayarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
bb sayısını aa cinsinden yazmak için 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5! ve 7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ifadelerini kullanın.
3
ba=76\frac{b}{a} = \frac{7}{6} ve cb=85\frac{c}{b} = \frac{8}{5} oranlarını bulduktan sonra, her ikisinin de 1'den büyük olması size sıralamayı verecektir.

Practice More

Bu kuralı 3!⋅9!3! \cdot 9! ve 2!⋅10!2! \cdot 10! sayıları için de test ederek mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Toplamları sabit olan (burada hepsinde 12) iki sayının faktöriyellerinin çarpımında, sayılar arasındaki fark arttıkça çarpımın sonucu da büyür. aa için fark 00, bb için fark 22 (7−57-5), cc için fark 44 (8−48-4)'tür. Dolayısıyla a<b<ca < b < c olur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic