Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Uygun koşullarda tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı (x≠0x \neq 0) için
f(x+1x)=x3+1x3−4 f\left( x + \frac{1}{x} \right) = x^3 + \frac{1}{x^3} - 4

eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
  1. 14Answer
  2. B
    18
  3. C
    23
  4. D
    32
  5. E
    40

Answer

Fonksiyonun kuralı belirlendikten sonra yapılan işlem sonucunda doğru cevap 14 bulunur.
Verilen fonksiyon yapısında x+1/xx + 1/x ifadesine tt dediğimizde, eşitliğin sağ tarafındaki x3+1/x3x^3 + 1/x^3 ifadesini tt cinsinden yazmamız gerekir. Çarpanlara ayırma özdeşliklerinden biliyoruz ki (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)'dir. Burada a=xa=x ve b=1/xb=1/x alınırsa, çarpımları 1 olur ve ifade (x+1/x)3=x3+1/x3+3(x+1/x)(x+1/x)^3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x+1/x) haline gelir. Buradan x3+1/x3x^3 + 1/x^3 yalnız bırakıldığında t3−3tt^3 - 3t elde edilir. Fonksiyonumuz f(t)=t3−3t−4f(t) = t^3 - 3t - 4 olur. t=3t=3 için 27−9−4=1427 - 9 - 4 = 14 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikteki değişken dönüşümünü tanımla.
t=x+1xt = x + \frac{1}{x} dönüşümü yapılır.
Fonksiyonun içindeki ifadeyi tek bir değişkene indirgemek için gereklidir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} ifadesini tt cinsinden yaz.
Tam küp özdeşliğinden (x+1x)3=x3+1x3+3(x+1x)\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) olduğu için, x3+1x3=t3−3tx^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t elde edilir.
İki küp toplamı veya tam küp açılımı özdeşlikleri kullanılarak ifade düzenlenir.
3
Fonksiyon kuralını tt değişkenine göre oluştur.
f(t)=(t3−3t)−4f(t) = (t^3 - 3t) - 4 yani f(t)=t3−3t−4f(t) = t^3 - 3t - 4 bulunur.
Elde edilen özdeşlik fonksiyonda yerine yazılır.
4
İstenen f(3)f(3) değeri için tt yerine 3 yazarak sonucu hesapla.
f(3)=33−3(3)−4=27−9−4=14f(3) = 3^3 - 3(3) - 4 = 27 - 9 - 4 = 14.
Fonksiyonun değeri hesaplanır.

Key Concept

Değişken Değiştirme ve Çarpanlara Ayırma Özdeşlikleri

Hints

1
Fonksiyonun içindeki x+1xx + \frac{1}{x} ifadesine bir değişken (örneğin tt) atayarak sağ taraftaki ifadeyi bu değişken cinsinden yazmaya çalışın.
2
(a+b)3(a+b)^3 açılımını hatırlayın: a3+b3+3ab(a+b)a^3 + b^3 + 3ab(a+b). Burada a=xa=x ve b=1/xb=1/x alırsanız a⋅b=1a \cdot b = 1 olacaktır.

Practice More

Benzer mantıkla f(x−1/x)f(x - 1/x) verildiğinde x2+1/x2x^2 + 1/x^2 değerini soran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Eğer x+1/x=3x + 1/x = 3 denklemini xx için çözmeye çalışırsanız (x2−3x+1=0x^2 - 3x + 1 = 0), kökleri bulup yerine yazmak çok daha uzun ve karmaşık olacaktır. Özdeşlik kullanmak en pratik yoldur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic