Examkin

Question

Difficulty: Very hardKöklü İfadeler
x=3+173−17−33x = \sqrt[3]{3 + \sqrt{17}} - \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} olduğuna göre, x3+6xx^3 + 6x ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    0
  2. B
    3
  3. 6Answer
  4. D
    9
  5. E
    2172\sqrt{17}

Answer

İfadenin değeri 6'dır.
Sorunun çözümü için (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) özdeşliği kullanılır. x=a−bx = a - b olarak düşünüldüğünde, aa ve bb değerlerinin küpleri farkı 6 ve çarpımları 2 çıkar. Bu değerler yerine yazıldığında x3=6−6xx^3 = 6 - 6x eşitliği bulunur, buradan da x3+6x=6x^3 + 6x = 6 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi x=a−bx = a - b formunda tanımla.
a=17+33a = \sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} ve b=17−33b = \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} olsun.
Küp açılımı özdeşliğini kullanabilmek için terimleri isimlendirmek işlemi kolaylaştırır.
2
Eşitliğin her iki tarafının küpünü alarak (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) özdeşliğini uygula.
x3=(17+3)−(17−3)−3(17+33⋅17−33)⋅xx^3 = (\sqrt{17} + 3) - (\sqrt{17} - 3) - 3(\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3}) \cdot x
xx değişkenine bağlı bir denklem elde etmek için küp alma işlemi gereklidir.
3
a3−b3a^3 - b^3 farkını ve a⋅ba \cdot b çarpımını hesapla.
a3−b3=3−(−3)=6a^3 - b^3 = 3 - (-3) = 6 ve a⋅b=(17+3)(17−3)3=17−93=83=2a \cdot b = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3)} = \sqrt[3]{17 - 9} = \sqrt[3]{8} = 2.
Denklemdeki sabit terimleri bulmak için kök içindeki işlemler yapılır. İki kare farkı (m−n)(m+n)=m2−n2(m-n)(m+n) = m^2 - n^2 kullanılır.
4
Bulunan değerleri ana denklemde yerine yaz.
x3=6−3(2)(x)⇒x3=6−6xx^3 = 6 - 3(2)(x) \Rightarrow x^3 = 6 - 6x
Bulunan sayısal değerler yerine konularak xx cinsinden basit bir eşitlik elde edilir.
5
İstenen x3+6xx^3 + 6x ifadesini elde etmek için terimleri düzenle.
x3+6x=6x^3 + 6x = 6
Soruda sorulan ifadeyi doğrudan elde etmek için −6x-6x terimi eşitliğin diğer tarafına atılır.

Key Concept

Tam Küp Özdeşliği ve Köklü İfadeler

Hints

1
İfadeyi x=A−Bx = A - B şeklinde düşünün ve her iki tarafın küpünü alarak (A−B)3(A-B)^3 özdeşliğini kullanmayı deneyin.
2
(A−B)3=A3−B3−3AB(A−B)(A-B)^3 = A^3 - B^3 - 3AB(A-B) özdeşliğinde, A=17+33A = \sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} ve B=17−33B = \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} değerlerini yerine yazın.
3
Küp kök içindeki sayıların çarpımının (17+3)(17−3)=17−9=8(\sqrt{17}+3)(\sqrt{17}-3) = 17-9=8 olduğuna dikkat edin. Bu durumda AB=2AB=2 olacaktır.

Practice More

Benzer yapıdaki x=5+23−5−23x = \sqrt[3]{\sqrt{5}+2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Polinom denklemi kurma yöntemi: xx değerini bir kök kabul eden 3. dereceden denklem oluşturularak da çözüme gidilebilir, ancak küp alma yöntemi en pratik olandır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic