Examkin

Question

Difficulty: HardKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bir düzlemde birbirine paralel olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları ile bu doğruları kesen bir d3d_3 doğrusu verilmiştir.

Bu doğrular üzerinde;
* d1d_1 doğrusu üzerinde 5 farklı nokta,
* d2d_2 doğrusu üzerinde 4 farklı nokta,
* d3d_3 doğrusu üzerinde, d1d_1 ve d2d_2 doğruları ile olan kesişim noktaları da dahil olmak üzere 6 farklı nokta

işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu işaretlenen noktalardan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

  1. A
    242
  2. 252Answer
  3. C
    266
  4. D
    272
  5. E
    286

Answer

İşaretlenen noktalarla oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı 252'dir.
Çözüm için öncelikle düzlemdeki toplam farklı nokta sayısı bulunmalıdır. d1d_1 ve d2d_2 paralel olup d3d_3 bunları kestiğinden iki adet kesişim noktası ortaktır. Toplam 5+4+6−2=135 + 4 + 6 - 2 = 13 nokta vardır. Bu 13 noktadan rastgele seçilen her 3 nokta bir üçgen oluşturma potansiyeline sahiptir ((133)=286\binom{13}{3} = 286). Ancak, aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz. d1d_1 üzerindeki 5 noktadan 10, d2d_2 üzerindeki 4 noktadan 4 ve d3d_3 üzerindeki 6 noktadan 20 farklı doğrusal üçlü seçilebilir. Tüm durumlardan bu 10+4+20=3410 + 4 + 20 = 34 doğrusal durum çıkarıldığında 286−34=252286 - 34 = 252 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Toplam farklı nokta sayısını belirleyelim.
13 nokta
d1d_1 üzerinde 5, d2d_2 üzerinde 4 nokta vardır. d3d_3 doğrusu bu iki doğruyu kestiği için kesişim noktaları her iki doğru için de sayılmıştır. Toplam nokta sayısı: 5+4+(6−2)=135 + 4 + (6 - 2) = 13 veya n(d1∪d2∪d3)=5+4+6−1−1=13n(d_1 \cup d_2 \cup d_3) = 5 + 4 + 6 - 1 - 1 = 13 olur.
2
13 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupları (kombinasyonları) hesaplayalım.
286 durum
Herhangi üç noktanın birleşimiyle oluşabilecek tüm durumlar: (133)=13×12×113×2×1=286\binom{13}{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286.
3
Aynı doğru üzerinde bulunduğu için üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumları belirleyelim.
34 durum
d1d_1 üzerindeki 5 noktadan seçilen 3'lüler: (53)=10\binom{5}{3} = 10, d2d_2 üzerindeki 4 noktadan seçilen 3'lüler: (43)=4\binom{4}{3} = 4, d3d_3 üzerindeki 6 noktadan seçilen 3'lüler: (63)=20\binom{6}{3} = 20. Toplam doğrusal durum: 10+4+20=3410 + 4 + 20 = 34.
4
Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkararak sonucu bulalım.
252
Üçgen sayısı = Tüm seçimler - Doğrusal seçimler = 286−34=252286 - 34 = 252.

Key Concept

Kombinasyon yöntemiyle geometrik şekil sayma problemlerinde, tüm seçimlerden aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) nokta kümelerinin oluşturduğu geçersiz durumlar çıkarılır.
Rate this question

Topics

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

More questions from this topic