Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+x⋅f(−x)=x2+1 f(x) + x \cdot f(-x) = x^2 + 1

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

  1. A
    -5
  2. -2Answer
  3. C
    4
  4. D
    7
  5. E
    10

Answer

-2
Verilen eşitlikte xx ve −x-x dönüşümleri yapılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde f(x)=1−xf(x) = 1-x fonksiyonu bulunur ve f(3)=−2f(3) = -2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği xx değişkeni için yazalım.
f(x)+x⋅f(−x)=x2+1f(x) + x \cdot f(-x) = x^2 + 1 (1. Denklem)
Eşitlik her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.
2
Eşitlikte xx yerine −x-x yazarak ikinci bir denklem elde edelim.
f(−x)+(−x)⋅f(−(−x))=(−x)2+1⇒f(−x)−x⋅f(x)=x2+1f(-x) + (-x) \cdot f(-(-x)) = (-x)^2 + 1 \Rightarrow f(-x) - x \cdot f(x) = x^2 + 1 (2. Denklem)
f(x)f(x) ve f(−x)f(-x) terimlerini içeren bir denklem sistemi kurmak için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
3
Elde edilen 2. denklemden f(−x)f(-x) ifadesini çekip 1. denklemde yerine yazalım veya yok etme metodu kullanalım.
2. denklemden: f(−x)=x2+1+x⋅f(x)f(-x) = x^2 + 1 + x \cdot f(x). Bunu 1. denkleme yazalım: f(x)+x(x2+1+x⋅f(x))=x2+1f(x) + x(x^2 + 1 + x \cdot f(x)) = x^2 + 1
İki bilinmeyenli (f(x)f(x) ve f(−x)f(-x)) denklem sistemini çözerek f(x)f(x) kuralını bulmak.
4
Denklemi düzenleyerek f(x)f(x)'i yalnız bırakalım.
f(x)+x3+x+x2f(x)=x2+1⇒f(x)(1+x2)=x2+1−x3−x⇒f(x)(1+x2)=(1+x2)−x(1+x2)⇒f(x)(1+x2)=(1+x2)(1−x)f(x) + x^3 + x + x^2 f(x) = x^2 + 1 \Rightarrow f(x)(1 + x^2) = x^2 + 1 - x^3 - x \Rightarrow f(x)(1+x^2) = (1+x^2) - x(1+x^2) \Rightarrow f(x)(1+x^2) = (1+x^2)(1-x)
Ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapmak.
5
Her iki tarafı (1+x2)(1+x^2) ile sadeleştirip x=3x=3 değerini bulalım.
f(x)=1−xf(x) = 1 - x. Buradan f(3)=1−3=−2f(3) = 1 - 3 = -2.
1+x21+x^2 ifadesi reel sayılarda daima sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirme yapılabilir.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme (x→−xx \to -x) yaparak denklem sistemi kurma ve çözme.

Hints

1
Eşitlikte sadece x=3x=3 yazmak yetmez, f(3)f(3) ve f(−3)f(-3) olmak üzere iki bilinmeyen çıkar. İkinci bir denklem bulmalısınız.
2
Verilen eşitlikte xx yerine −x-x yazarak f(−x)f(-x) ve f(x)f(x) içeren yeni bir eşitlik daha elde edin.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi (xx ve −x-x için yazılanlar) ortak çözerek f(x)f(x) ifadesini xx cinsinden bulun.

Practice More

Benzer şekilde f(x)+2f(1/x)=xf(x) + 2f(1/x) = x tipindeki soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Sadece x=3x=3 ve x=−3x=-3 değerlerini denklemde yerine yazarak sayısal bir sistem çözülebilir:
1) x=3x=3 için: f(3)+3f(−3)=10f(3) + 3f(-3) = 10
2) x=−3x=-3 için: f(−3)−3f(3)=10f(-3) - 3f(3) = 10
Bu iki denklemden f(−3)f(-3) yok edilerek f(3)f(3) bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic