Examkin

Question

Difficulty: Very hardFaktöriyel (Sayma)
xx ve yy birer pozitif tam sayı olmak üzere,
60!18x⋅15y \frac{60!}{18^x \cdot 15^y}

ifadesi bir tam sayı belirtmektedir.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    19
  2. B
    20
  3. 21Answer
  4. D
    27
  5. E
    28

Answer

Toplamın en büyük değeri 21'dir.
İfadenin tam sayı olması için paydadaki asal çarpan kuvvetlerinin 60! içindeki karşılık gelen asal çarpan sayısını aşmaması gerekir. 60! içindeki 3 çarpanı sayısı 28'dir ve bu çarpan hem 18x18^x hem de 15y15^y terimlerinden gelir (32x+y3^{2x+y}). Bu durum 2x+y≤282x+y \le 28 kısıtını oluşturur. Ayrıca 15y15^y teriminden gelen 5 çarpanı için y≤14y \le 14 kısıtı vardır. Toplamı (x+yx+y) maksimize etmek için, katsayısı küçük olan yy değişkenine mümkün olan en büyük değeri (1414) veririz. Bu durumda 2x+14≤282x+14 \le 28 eşitsizliğinden xx en çok 7 bulunur. Böylece maksimum toplam 21 olur.

Step-by-Step Solution

1
Tabanları asal çarpanlarına ayır ve ifadeyi düzenle.
18x=(2⋅32)x=2x⋅32x18^x = (2 \cdot 3^2)^x = 2^x \cdot 3^{2x} ve 15y=(3⋅5)y=3y⋅5y15^y = (3 \cdot 5)^y = 3^y \cdot 5^y. Payda: 2x⋅32x+y⋅5y2^x \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^y.
Faktöriyel içindeki asal çarpanların sayısını kontrol edebilmek için tabanların asal olması gerekir.
2
60! içindeki 2, 3 ve 5 asal çarpanlarının sayısını Legendre formülü ile hesapla.
2 sayısı: 56 adet, 3 sayısı: 28 adet, 5 sayısı: 14 adet.
Her bir asal çarpanın faktöriyel içindeki maksimum kuvveti, alabilecekleri değerlerin üst sınırını belirler.
3
Elde edilen verilerle x ve y için eşitsizlik sistemini kur.
1) x≤56x \le 56 (2 çarpanı için)
2) 2x+y≤282x + y \le 28 (3 çarpanı için)
3) y≤14y \le 14 (5 çarpanı için)
Paydadaki asal çarpan kuvvetleri, paydaki (60!) çarpan sayısını geçemez.
4
x+yx+y toplamını maksimize etmek için kısıtları analiz et.
2x+y≤282x+y \le 28 kısıtında xx değişkeninin katsayısı daha büyük olduğundan (2), toplamı artırmak için xx'i küçük, yy'yi büyük seçmeliyiz. yy'nin üst sınırı 14'tür.
Maliyet (katsayı) analizi yaparak hangi değişkenin maksimize edilmesi gerektiğini belirlemek.
5
y=14y=14 değerini en kısıtlayıcı eşitsizliğe koy ve xx'i bul.
2x+14≤28⇒2x≤14⇒x≤72x + 14 \le 28 \Rightarrow 2x \le 14 \Rightarrow x \le 7. En büyük x=7x=7 olur. Toplam: 7+14=217+14=21.
Bulunan değerlerin tüm eşitsizlikleri sağladığından emin olmak.

Key Concept

Asal Çarpanlara Ayırma ve Legendre Teoremi ile Optimizasyon

Hints

1
Önce 18 ve 15 sayılarını asal çarpanlarına ayırarak paydanın tam halini yazın (2a⋅3b⋅5c2^a \cdot 3^b \cdot 5^c formatında).
2
60! içindeki 2, 3 ve 5 çarpanlarının sayısını bulun. 3 çarpanı her iki tabandan da geldiği için (18x18^x ve 15y15^y), bu çarpan için ortak bir eşitsizlik kurmanız gerekecek.
3
3 çarpanı için 2x+y≤282x + y \le 28 eşitsizliğini bulmalısınız. Ayrıca 5 çarpanı için y≤14y \le 14 kısıtı var. x+yx+y toplamını en büyük yapmak için, katsayısı 1 olan yy'yi mümkün olduğunca büyük seçin.

Practice More

Benzer mantıkla, paydasında üç farklı taban bulunan ve daha karmaşık kısıtlar içeren bir faktöriyel sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: y'nin alabileceği maksimum değerin 5 çarpanından dolayı 14 olduğunu görüp, y=14, y=13... değerleri için x'in alabileceği en büyük tam sayı değerlerini tek tek kontrol etmek.
Estimated Time:3m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic