Examkin

Question

Difficulty: Very hardKöklü İfadeler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x+1+4x−3−x+6−6x−3=2 \sqrt{x + 1 + 4\sqrt{x-3}} - \sqrt{x + 6 - 6\sqrt{x-3}} = 2
eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    174\frac{17}{4}
  2. B
    194\frac{19}{4}
  3. 214\frac{21}{4}Answer
  4. D
    112\frac{11}{2}
  5. E
    6

Answer

214\frac{21}{4}
Verilen ifade düzenlendiğinde mutlak değerli bir denklem elde edilir: ∣x−3+2∣−∣x−3−3∣=2|\sqrt{x-3} + 2| - |\sqrt{x-3} - 3| = 2. Bu denklemin çözümü, mutlak değerin tanımı kullanılarak yapıldığında x=21/4x = 21/4 sonucuna ulaşılır. Kök içindeki ifadelerin tam kareye tamamlanması sorunun çözümündeki kilit noktadır.

Step-by-Step Solution

1
Kök içindeki ifadeleri tam kare formatına benzeterek düzenle.
x+1+4x−3=(x−3)+4+4x−3=(x−3+2)2x + 1 + 4\sqrt{x-3} = (x-3) + 4 + 4\sqrt{x-3} = (\sqrt{x-3} + 2)^2 ve x+6−6x−3=(x−3)+9−6x−3=(x−3−3)2x + 6 - 6\sqrt{x-3} = (x-3) + 9 - 6\sqrt{x-3} = (\sqrt{x-3} - 3)^2
A±2B\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} kuralını uygulamak için xx terimini (x−3)(x-3) cinsinden yazarız.
2
Kök dışına çıkarma işlemini mutlak değer kullanarak yap.
(x−3+2)2−(x−3−3)2=2  ⟹  ∣x−3+2∣−∣x−3−3∣=2\sqrt{(\sqrt{x-3} + 2)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-3} - 3)^2} = 2 \implies |\sqrt{x-3} + 2| - |\sqrt{x-3} - 3| = 2
Çift dereceli kök dışına çıkan ifade daima mutlak değer içinde yazılmalıdır: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|.
3
Mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini incele.
x−3≥0\sqrt{x-3} \ge 0 olduğundan (x−3+2)(\sqrt{x-3} + 2) daima pozitiftir ve aynen çıkar. Denklem: (x−3+2)−∣x−3−3∣=2(\sqrt{x-3} + 2) - |\sqrt{x-3} - 3| = 2
Mutlak değer çözümlemesi için içinin işaretine bakılır.
4
Denklemi düzenleyerek mutlak değeri yalnız bırak.
x−3+2−2=∣x−3−3∣  ⟹  x−3=∣x−3−3∣\sqrt{x-3} + 2 - 2 = |\sqrt{x-3} - 3| \implies \sqrt{x-3} = |\sqrt{x-3} - 3|
Denklemi çözülebilir basit bir forma getirmek gerekir.
5
Değişken değiştirerek (t=x−3t = \sqrt{x-3}) denklemi çöz.
t=∣t−3∣t = |t-3| için iki durum vardır: t=t−3t = t-3 (çözüm yok) veya t=−(t−3)t = -(t-3). Buradan t=−t+3  ⟹  2t=3  ⟹  t=32t = -t + 3 \implies 2t = 3 \implies t = \frac{3}{2}.
∣a∣=b|a| = b ise a=ba=b veya a=−ba=-b durumları incelenir.
6
tt değerini yerine koyarak xx'i bul.
x−3=32  ⟹  x−3=94  ⟹  x=3+94=12+94=214\sqrt{x-3} = \frac{3}{2} \implies x - 3 = \frac{9}{4} \implies x = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12+9}{4} = \frac{21}{4}
Sonuca ulaşmak için ters işlem yapılır.

Key Concept

İç içe kökler ve mutlak değer içeren denklemler

Hints

1
Kök içindeki ifadeleri, bir parantez karesi şeklinde yazıp yazamayacağınızı kontrol edin. xx terimini (x−3)+3(x-3) + 3 gibi düşünerek terimleri gruplandırın.
2
x+1+4x−3x + 1 + 4\sqrt{x-3} ifadesini (x−3+2)2(\sqrt{x-3} + 2)^2 şeklinde yazabilirsiniz. Diğer köklü ifadeyi de benzer şekilde düzenleyin.
3
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadeleri mutlak değer içinde yazmayı unutmayın. ∣x−3+2∣−∣x−3−3∣=2|\sqrt{x-3} + 2| - |\sqrt{x-3} - 3| = 2 denklemini çözün.

Practice More

x−4x−4=2\sqrt{x - 4\sqrt{x-4}} = 2 denkleminin çözüm kümesini bulan bir alıştırma sorusu çözülebilir.

Alternative Method

t=x−3t = \sqrt{x-3} dönüşümü yaparak denklemi t2+3+1+4t−t2+3+6−6t=2\sqrt{t^2+3+1+4t} - \sqrt{t^2+3+6-6t} = 2 haline getirebilir, buradan (t+2)2−(t−3)2=2\sqrt{(t+2)^2} - \sqrt{(t-3)^2} = 2 elde edebilirsiniz.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic