Examkin

Question

Difficulty: HardKöklü İfadeler
a=11+7 a = \sqrt{11} + \sqrt{7}
b=14+2 b = \sqrt{14} + 2
c=13+5 c = \sqrt{13} + \sqrt{5}

olduğuna göre, a,ba, b ve cc sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. b<c<ab < c < aAnswer
  2. B
    a<c<ba < c < b
  3. C
    b<a<cb < a < c
  4. D
    c<b<ac < b < a
  5. E
    a<b<ca < b < c

Answer

Sayıların küçükten büyüğe sıralanışı b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen köklü ifadelerin kareleri alındığında sabit kısımların (tam sayıların toplamı) hepsinde 18 olduğu görülür. Bu durumda büyüklüğü belirleyen kısım, kök içindeki çarpım değerleridir (2x⋅y2\sqrt{x \cdot y}). Çarpımı en küçük olan bb (56), ortanca olan cc (65) ve en büyük olan aa (77) olduğundan doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadelerin yaklaşık değerlerini tahmin etmek zor olduğundan, sıralama yapabilmek için her üç ifadenin de karesini alınız.
a2=(11+7)2a^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{7})^2, b2=(14+2)2b^2 = (\sqrt{14} + 2)^2, c2=(13+5)2c^2 = (\sqrt{13} + \sqrt{5})^2
Pozitif sayıların kareleri arasındaki sıralama ilişki, sayıların kendileriyle aynıdır (x<y  ⟺  x2<y2x < y \iff x^2 < y^2).
2
Tam kare özdeşliğini (x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy kullanarak ifadeleri açınız. bb ifadesindeki 22 sayısını 4\sqrt{4} olarak düşününüz.
a2=11+7+211⋅7=18+277a^2 = 11 + 7 + 2\sqrt{11 \cdot 7} = 18 + 2\sqrt{77}
b2=14+4+214⋅4=18+256b^2 = 14 + 4 + 2\sqrt{14 \cdot 4} = 18 + 2\sqrt{56}
c2=13+5+213⋅5=18+265c^2 = 13 + 5 + 2\sqrt{13 \cdot 5} = 18 + 2\sqrt{65}
Toplamları eşit olan köklü ifadelerin çarpımları kıyaslanarak sonuca gidilir.
3
Elde edilen sonuçlardaki sabit terimler (18) aynı olduğu için, kök içindeki çarpım değerlerini karşılaştırınız.
Kök içleri: 77,56,6577, 56, 65. Sıralama: 56<65<7756 < 65 < 77.
Büyük kök içi değere sahip olan sayı daha büyüktür.
4
Bulunan eşitsizliği ana değişkenlere (a,b,ca, b, c) uyarlayarak sonucu yazınız.
256<265<2772\sqrt{56} < 2\sqrt{65} < 2\sqrt{77} olduğundan b<c<ab < c < a elde edilir.
Sonuç tespiti.

Key Concept

Toplamları eşit olan iki pozitif sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. Köklü sayılarda sıralama yapılırken kare alma yöntemi kullanılır.

Hints

1
Köklü sayıların yaklaşık değerlerini tahmin etmek zordur. Bunun yerine, sıralamayı değiştirmeyecek bir işlem olan 'kare alma' yöntemini deneyin.
2
Her bir ifadenin parantez karesini alın: (x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy. bb ifadesindeki 22 sayısını 4\sqrt{4} olarak düşünerek işleme devam edin.
3
Karelerini aldığınızda tüm ifadelerde 1818 tam sayısını göreceksiniz. Sıralamayı belirlemek için sadece 2A⋅B2\sqrt{A \cdot B} kısımlarını, yani kök içindeki çarpımları kıyaslamanız yeterlidir.

Practice More

Toplamları değil, çarpımları sabit olan köklü ifadelerin toplamlarının sıralandığı bir soru çözerek (örn: 2+12\sqrt{2}+\sqrt{12} vs 4+6\sqrt{4}+\sqrt{6}) konuyu pekiştirin.

Alternative Method

Sayıların birbirine olan yakınlığına bakılabilir. Toplamları sabit olan iki pozitif sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. aa şıkkında 11 ve 7 (fark 4), cc şıkkında 13 ve 5 (fark 8), bb şıkkında 14 ve 4 (fark 10). Sayılar birbirine en yakın olan aa en büyüktür.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic