Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
2f(x)−f(1x)=3x−1x 2f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x - \frac{1}{x}

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    32\frac{3}{2}
  2. B
    52\frac{5}{2}
  3. 72\frac{7}{2}Answer
  4. D
    92\frac{9}{2}
  5. E
    112\frac{11}{2}

Answer

Fonksiyonun verilen değeri 7/2'dir.
Verilen eşitlikte xx ve 1/x1/x ifadeleri birbirine dönüşebilen ifadelerdir. x=2x=2 için bir denklem, x=1/2x=1/2 için ikinci bir denklem elde edilir. Bu iki denklem, f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) bilinmeyenlerinden oluşan bir lineer denklem sistemidir. Bu sistem çözüldüğünde doğru değer bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikte x yerine 2 yazarak birinci denklemi oluştur.
2f(2)−f(1/2)=3(2)−1/2=6−0.5=5.5=112 2f(2) - f(1/2) = 3(2) - 1/2 = 6 - 0.5 = 5.5 = \frac{11}{2}
İstenen f(2) değerini içeren bir denklem elde etmek için.
2
Eşitlikte x yerine 1/2 yazarak ikinci denklemi oluştur.
2f(1/2)−f(2)=3(1/2)−2=32−42=−12 2f(1/2) - f(2) = 3(1/2) - 2 = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{2}
Bilinmeyen f(1/2) terimini içeren ikinci bir denklem elde edip sistemi çözebilmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çöz. İkinci denklemi f(2)'yi bulacak şekilde düzenle veya yok etme metodunu kullan.
İkinci denklemden f(2)=2f(1/2)+12f(2) = 2f(1/2) + \frac{1}{2} elde edilir veya denklem 2 ile genişletilip toplanır.
f(2) değerini yalnız bırakmak için.
4
Yok etme metodu uygula: İkinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklem ile topla.
4f(1/2)−2f(2)=−1 4f(1/2) - 2f(2) = -1

Bu yöntem yerine, birinci denklemi 2 ile çarpıp ikinci denklemle toplamak f(1/2)'yi yok eder:
4f(2)−2f(1/2)=11 4f(2) - 2f(1/2) = 11

2f(1/2)−f(2)=−1/2 2f(1/2) - f(2) = -1/2

Taraf tarafa topla:
3f(2)=11−0.5=10.5 3f(2) = 11 - 0.5 = 10.5

3f(2)=212 3f(2) = \frac{21}{2}
f(1/2) terimlerini yok edip doğrudan f(2)'ye ulaşmak için.
5
Sonucu hesapla.
f(2)=216=72 f(2) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}
Nihai değeri bulmak için.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirerek (x yerine 1/x yazarak) denklem sistemi oluşturma ve çözme.

Hints

1
Eşitlikte önce xx yerine 2 yazarak f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) içeren bir denklem elde etmeyi dene.
2
Sadece x=2x=2 yazmak yetmez; bilinmeyen f(1/2)f(1/2) değerini bulmak veya yok etmek için xx yerine 1/21/2 yazarak ikinci bir denklem oluştur.
3
Elde ettiğin iki denklemi, f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) değişkenlerine sahip bir denklem sistemi gibi düşün ve yok etme metodunu kullanarak f(2)f(2)'yi yalnız bırak.

Practice More

Benzer mantıkla çözülen f(x)+2f(−x)=x2+1f(x) + 2f(-x) = x^2 + 1 tipindeki soruları incele.

Alternative Method

Genel çözüm olarak xx yerine 1/x1/x yazıp genel ifadeyi f(x)f(x) için çözebilirsin: 2f(1/x)−f(x)=3/x−x2f(1/x) - f(x) = 3/x - x. Bu yeni denklemi ilkiyle beraber çözerek f(x)f(x) kuralını bulup sonra 2 değerini yerine yazabilirsin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic