Examkin

Question

Difficulty: Very hardİşlem
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=4xy−3x−3y+kx \triangle y = 4xy - 3x - 3y + k
biçiminde tanımlanıyor.

Bu işlemin yutan elemanı bulunduğuna göre, 33 sayısının △\triangle işlemine göre tersi kaçtır?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. C
    34\frac{3}{4}
  4. 79\frac{7}{9}Answer
  5. E
    1

Answer

İşlemin yutan elemanından k değeri bulunur, ardından birim eleman ve son olarak 3'ün tersi hesaplanarak 79\frac{7}{9} sonucuna ulaşılır.
Sorunun çözümü üç aşamalıdır. Öncelikle 'yutan eleman' bilgisi kullanılarak bilinmeyen kk sabiti bulunmalıdır. x△z=zx \triangle z = z eşitliğinden yutan eleman z=3/4z=3/4 ve buna bağlı olarak k=3k=3 bulunur. İkinci aşamada işlemin 'birim (etkisiz) elemanı' bulunmalıdır. x△e=xx \triangle e = x eşitliğinden e=1e=1 elde edilir. Son aşamada ise bir sayının tersinin tanımı (a△a−1=ea \triangle a^{-1} = e) kullanılarak 3'ün tersi hesaplanır. 3△x=13 \triangle x = 1 denklemi çözüldüğünde sonuç 79\frac{7}{9} çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Yutan eleman (zz) tanımını kullanarak kk değerini bul.
k=3k = 3
Yutan eleman tanımı gereği her xx için x△z=zx \triangle z = z olmalıdır. 4xz−3x−3z+k=z⇒x(4z−3)+(k−4z)=04xz - 3x - 3z + k = z \Rightarrow x(4z-3) + (k-4z) = 0. Bu eşitliğin her xx için sağlanması katsayıların 0 olmasını gerektirir: 4z−3=0⇒z=3/44z-3=0 \Rightarrow z=3/4 ve k−4z=0⇒k=3k-4z=0 \Rightarrow k=3.
2
İşlemin kuralını k=3k=3 ile güncelle ve birim elemanı (ee) bul.
e=1e = 1
İşlem: x△y=4xy−3x−3y+3x \triangle y = 4xy - 3x - 3y + 3. Birim eleman tanımı gereği x△e=xx \triangle e = x olmalıdır. 4xe−3x−3e+3=x⇒4xe−3e=4x−3⇒e(4x−3)=4x−34xe - 3x - 3e + 3 = x \Rightarrow 4xe - 3e = 4x - 3 \Rightarrow e(4x-3) = 4x-3. Buradan e=1e=1 bulunur.
3
33 sayısının işlemine göre tersini (xx) bul.
x=79x = \frac{7}{9}
Ters eleman tanımı gereği 3△x=e=13 \triangle x = e = 1 olmalıdır. Denklemde yerine yazılırsa: 4(3)(x)−3(3)−3x+3=1⇒12x−9−3x+3=1⇒9x−6=1⇒9x=7⇒x=7/94(3)(x) - 3(3) - 3x + 3 = 1 \Rightarrow 12x - 9 - 3x + 3 = 1 \Rightarrow 9x - 6 = 1 \Rightarrow 9x = 7 \Rightarrow x = 7/9.

Key Concept

İşlem Özellikleri (Yutan Eleman, Birim Eleman, Ters Eleman)

Hints

1
Öncelikle yutan eleman tanımını (x△z=zx \triangle z = z) kullanarak kk değerini bulmalısın.
2
k değerini bulduktan sonra, bir sayının tersini bulabilmek için önce işlemin birim (etkisiz) elemanını (ee) bulman gerekir (x△e=xx \triangle e = x).
3
Birim eleman e=1e=1 dir. Şimdi 3'ün tersini bulmak için 3△x=13 \triangle x = 1 denklemini çöz.

Practice More

Değişme özelliği olan ve olmayan işlemlerin farklarını inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic