Examkin

Question

Difficulty: MediumBinom Açılımı
(2x2+1x)6 \left( 2x^2 + \frac{1}{x} \right)^6

ifadesinin xx değişkeninin azalan kuvvetlerine göre yapılan binom açılımında x6x^6 lı terimin katsayısı kaçtır?

  1. A
    60
  2. B
    160
  3. C
    192
  4. 240Answer
  5. E
    480

Answer

İfadenin açılımındaki x6x^6 lı terimin katsayısı 240 olarak bulunur.
Genel terim formülü kullanılarak xx değişkeninin üssü 6'ya eşitlendiğinde r=2r=2 bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine yazıldığında (62)⋅24=15⋅16=240\binom{6}{2} \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü belirleme
Tr+1=(nr)⋅an−r⋅br T_{r+1} = \binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r
Binom açılımında belirli bir terimi bulmak için genel terim formülü kullanılır.
2
Verilenleri formülde yerine yazma
Tr+1=(6r)⋅(2x2)6−r⋅(1x)r T_{r+1} = \binom{6}{r} \cdot (2x^2)^{6-r} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^r
n=6n=6, a=2x2a=2x^2 ve b=x−1b=x^{-1} değerleri formüle yerleştirilir.
3
xx değişkeninin üslerini düzenleme
Tr+1=(6r)⋅26−r⋅x12−2r⋅x−r=(6r)⋅26−r⋅x12−3r T_{r+1} = \binom{6}{r} \cdot 2^{6-r} \cdot x^{12-2r} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} \cdot 2^{6-r} \cdot x^{12-3r}
Değişkenin kuvvetini belirlemek için üslü sayı özellikleri uygulanır.
4
x6x^6 lı terim için rr değerini bulma
12−3r=6⇒3r=6⇒r=2 12 - 3r = 6 \Rightarrow 3r = 6 \Rightarrow r = 2
İstenen terimin kuvveti 6 olduğu için xx in üssü 6'ya eşitlenir.
5
Katsayıyı hesaplama
Katsayı=(62)⋅26−2=15⋅24=15⋅16=240 \text{Katsayı} = \binom{6}{2} \cdot 2^{6-2} = 15 \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240
Bulunan r=2r=2 değeri katsayı kısmında yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Binom açılımında genel terim formülü Tr+1=(nr)an−rbr T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir.

Hints

1
Genel terim formülünü ((nr)an−rbr \binom{n}{r} a^{n-r} b^r ) hatırlayın.
2
xx değişkeninin kuvvetlerini birleştirerek 12−3r12-3r ifadesini elde edin.
3
x6x^6 lı terimi bulmak için 12−3r=612-3r = 6 denklemini çözüp rr değerini katsayıda yerine koyun.

Practice More

Benzer bir soruda ifadenin sabit terimini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Pascal üçgeninin 6. satırındaki katsayıları (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) kullanarak terimleri tek tek yazabilir ve x6x^6 lı olanın katsayısını belirleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic