Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx ve yy değeri için
f(x⋅y)=f(x)+f(y)+f(x)⋅f(y)f(x \cdot y) = f(x) + f(y) + f(x) \cdot f(y)

eşitliğini sağlamaktadır.

f(2)=2f(2) = 2 olduğuna göre, f(16)f(16) değeri kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    16
  3. C
    26
  4. D
    64
  5. 80Answer

Answer

80
Verilen fonksiyonel eşitlik f(x⋅y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)f(x \cdot y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) şeklindedir. f(16)f(16) değerine ulaşmak için adım adım ilerlenmelidir. Önce x=2,y=2x=2, y=2 alınarak f(4)f(4) bulunur: f(4)=2+2+2⋅2=8f(4) = 2+2+2\cdot2 = 8. Daha sonra x=4,y=4x=4, y=4 alınarak f(16)f(16) hesaplanır: f(16)=8+8+8⋅8=80f(16) = 8+8+8\cdot8 = 80.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikte xx ve yy yerine 2 değerini koyarak f(4)f(4) değerini hesapla.
f(4)=f(2⋅2)=f(2)+f(2)+f(2)⋅f(2)f(4) = f(2 \cdot 2) = f(2) + f(2) + f(2) \cdot f(2)
f(16)f(16) değerine ulaşmak için önce ara değer olan f(4)f(4)'ün bulunması gerekir.
2
f(2)=2f(2)=2 değerini yerine yaz.
f(4)=2+2+2⋅2=4+4=8f(4) = 2 + 2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8
Fonksiyonun tanımı gereği değerleri yerine koyarak işlem yapılır.
3
Bulunan f(4)f(4) değerini kullanarak f(16)f(16) değerini hesapla (x=4, y=4).
f(16)=f(4⋅4)=f(4)+f(4)+f(4)⋅f(4)f(16) = f(4 \cdot 4) = f(4) + f(4) + f(4) \cdot f(4)
Hedeflenen f(16)f(16) değerine ulaşmak için 16=4⋅416 = 4 \cdot 4 eşitliği kullanılır.
4
f(4)=8f(4)=8 değerini yerine yazıp sonucu bul.
f(16)=8+8+8⋅8=16+64=80f(16) = 8 + 8 + 8 \cdot 8 = 16 + 64 = 80
Son hesaplama ile doğru cevaba ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonel Eşitlikler

Hints

1
f(16)f(16) değerini bulmak için doğrudan 16'yı çarpanlarına ayırmayı deneyin (örneğin 4⋅44 \cdot 4 veya 8⋅28 \cdot 2).
2
Önce f(4)f(4) değerini bulmak için verilen eşitlikte x=2x=2 ve y=2y=2 yazın.
3
f(4)f(4) değerini 8 olarak bulduktan sonra, eşitliği tekrar kullanarak f(16)=f(4⋅4)f(16) = f(4 \cdot 4) işlemini yapın.

Practice More

Benzer bir mantıkla f(xy)=f(x)+f(y)f(xy) = f(x) + f(y) eşitliğini sağlayan logaritmik fonksiyon sorularını inceleyin.

Alternative Method

Alternatif olarak f(x)+1f(x)+1 ifadesine odaklanılabilir. Eşitliğin her iki tarafına 1 eklenirse f(xy)+1=(f(x)+1)(f(y)+1)f(xy)+1 = (f(x)+1)(f(y)+1) elde edilir. f(2)+1=3f(2)+1=3 olduğundan f(16)+1=(f(2)+1)4=34=81f(16)+1 = (f(2)+1)^4 = 3^4 = 81 ve buradan f(16)=80f(16)=80 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic