Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değer

xx ve yy gerçel sayıları için x<0<yx < 0 < y eşitsizliği ve ∣x∣=3y|x| = 3y eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,
2(x−y)2+x∣x∣−2y \frac{2\sqrt{(x-y)^2} + x}{|x| - 2y}
ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    -11
  2. B
    -5
  3. C
    1
  4. 5Answer
  5. E
    7

Answer

İfadenin değeri 5'tir.
Verilen x<0<yx < 0 < y eşitsizliği ve ∣x∣=3y|x| = 3y eşitliği kullanılarak x=−3yx = -3y dönüşümü yapılır. Köklü ifade (x−y)2=∣x−y∣\sqrt{(x-y)^2} = |x-y| şeklinde mutlak değere çevrilir. x−y=−4yx-y = -4y negatif olduğundan dışarı 4y4y olarak çıkar. Tüm terimler yy cinsinden yazılıp sadeleştirildiğinde sonuç 5 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ∣x∣=3y|x| = 3y eşitliğini ve x<0x < 0 bilgisini kullanarak xx ile yy arasındaki ilişkiyi belirle.
xx negatif olduğu için mutlak değer dışına −x-x olarak çıkar. −x=3y⇒x=−3y-x = 3y \Rightarrow x = -3y.
Mutlak değer tanımı gereği negatif sayılar işaret değiştirerek çıkar.
2
İfadede (x−y)2\sqrt{(x-y)^2} terimini düzenle.
(x−y)2=∣x−y∣\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|. x=−3yx = -3y yazarsak ∣−3y−y∣=∣−4y∣|-3y - y| = |-4y|. yy pozitif olduğundan −4y-4y negatiftir, dışarı 4y4y olarak çıkar.
Çift dereceli kökler dışarı mutlak değer içinde çıkar.
3
Pay kısmındaki tüm terimleri yy cinsinden yaz ve topla.
Pay: 2(4y)+(−3y)=8y−3y=5y2(4y) + (-3y) = 8y - 3y = 5y.
Değişken değiştirme yöntemiyle ifade tek bilinmeyene indirgenir.
4
Payda kısmındaki terimleri yy cinsinden yaz ve düzenle.
Payda: ∣x∣−2y|x| - 2y. ∣x∣=3y|x| = 3y (soruda verilmişti). Payda: 3y−2y=y3y - 2y = y.
Verilen eşitlik doğrudan yerine yazılır.
5
Payı paydaya bölerek sonucu bul.
5yy=5\frac{5y}{y} = 5.
Sadeleştirme işlemi.

Key Concept

Mutlak Değerli İfadelerin İşaret İncelemesi ve Değişken Değiştirme

Hints

1
∣x∣=3y|x| = 3y eşitliğinde xx'in negatif olduğunu unutmayın. Bu durumda xx ile yy arasında nasıl bir eşitlik yazabilirsiniz?
2
(x−y)2\sqrt{(x-y)^2} ifadesi dışarıya mutlak değer içinde ∣x−y∣|x-y| olarak çıkar. xx yerine −3y-3y yazarak bu mutlak değerin içinin işaretini inceleyin.
3
x=−3yx = -3y dönüşümünü yapın. ∣−4y∣|-4y| ifadesi yy pozitif olduğu için 4y4y olarak çıkar. Payda ise 3y−2y3y - 2y olur.

Practice More

Mutlak değer içinde bilinmeyenli ifadelerin olduğu ve hem xx hem yy'nin işaretinin belirlenmesi gereken eşitsizlik sorularını inceleyin.

Alternative Method

Değer vererek çözme: y=1y=1 seçilirse, ∣x∣=3|x|=3 ve x<0x<0 olduğundan x=−3x=-3 olur. İfade: 2(−3−1)2+(−3)∣−3∣−2(1)=2(4)−33−2=51=5\frac{2\sqrt{(-3-1)^2} + (-3)}{|-3| - 2(1)} = \frac{2(4) - 3}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic