Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değer
xx bir tam sayı olmak üzere,
∣2x−1∣≤9 |2x - 1| \le 9
∣x+1∣≥3 |x + 1| \ge 3
eşitsizlik sistemini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    5
  2. 10Answer
  3. C
    14
  4. D
    15
  5. E
    18

Answer

Eşitsizlik sistemini sağlayan değerlerin toplamı 10'dur.
Doğru çözüm için her iki mutlak değer eşitsizliği ayrı ayrı çözülmeli ve bulunan çözüm kümelerinin kesişimi alınmalıdır. Birinci eşitsizlikten [−4,5][-4, 5] aralığı, ikinci eşitsizlikten ise (−∞,−4]∪[2,∞)(-\infty, -4] \cup [2, \infty) kümesi elde edilir. Bu iki kümenin kesişimindeki tam sayılar -4, 2, 3, 4 ve 5'tir. Bu sayıların toplamı 10 eder.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliği çözerek x'in alabileceği aralığı belirle.
−9≤2x−1≤9  ⟹  −8≤2x≤10  ⟹  −4≤x≤5 -9 \le 2x - 1 \le 9 \implies -8 \le 2x \le 10 \implies -4 \le x \le 5
Mutlak değerli bir ifade bir pozitif sayıdan küçük veya eşitse (∣A∣≤k|A| \le k), ifade −k-k ile kk arasında yer alır.
2
İkinci eşitsizliği çözerek kısıtlamaları belirle.
x+1≥3  ⟹  x≥2 x + 1 \ge 3 \implies x \ge 2 VEYA x+1≤−3  ⟹  x≤−4 x + 1 \le -3 \implies x \le -4
Mutlak değerli bir ifade bir pozitif sayıdan büyük veya eşitse (∣A∣≥k|A| \ge k), ifade ya kk'dan büyük eşittir ya da −k-k'dan küçük eşittir.
3
Her iki adımı sağlayan ortak tam sayıları (kesişim kümesini) bul.
Birinci aralık: {−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}. İkinci koşul: x≤−4x \le -4 veya x≥2x \ge 2. Kesişim: {−4,2,3,4,5}\{-4, 2, 3, 4, 5\}.
Sistemin çözümü için her iki eşitsizliğin aynı anda sağlanması gerekir.
4
Bulunan değerleri topla.
(−4)+2+3+4+5=10 (-4) + 2 + 3 + 4 + 5 = 10
Soruda x değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizlik Sistemleri

Hints

1
Her iki eşitsizliği ayrı ayrı çözün ve sayı doğrusu üzerinde gösterin.
2
∣A∣≤k|A| \le k ifadesi −k≤A≤k-k \le A \le k anlamına gelirken; ∣A∣≥k|A| \ge k ifadesi A≥kA \ge k veya A≤−kA \le -k anlamına gelir.
3
Birinci eşitsizlikten xx, -4 ile 5 arasındadır (sınırlar dahil). İkinci eşitsizlikten xx, 2'den büyük eşit veya -4'ten küçük eşittir. Bu iki bilgiyi birleştirin.

Practice More

Benzer mantığı pekiştirmek için ∣x−a∣<b|x-a| < b ve ∣x−c∣>d|x-c| > d formundaki farklı eşitsizlik sistemlerini sayı doğrusu üzerinde çizerek çözün.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic