Examkin

Question

Difficulty: Very hardKöklü İfadeler
x+2x−1−x−2x−1=2 \sqrt{x + \sqrt{2x-1}} - \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}

denklemini sağlayan en geniş xx gerçel sayı aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [1,∞)[1, \infty)Answer
  2. B
    [12,∞)[\frac{1}{2}, \infty)
  3. C
    {1}\{1\}
  4. D
    [12,1][\frac{1}{2}, 1]
  5. E
    (1,∞)(1, \infty)

Answer

Denklemi sağlayan en geniş aralık [1,∞)[1, \infty) aralığıdır.
Denklem çözüldüğünde ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1 eşitliğine ulaşılır. Bir sayının mutlak değerinin kendisine eşit olması için o sayının sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir (x−1≥0x-1 \ge 0). Bu da x≥1x \ge 1 sonucunu verir. Ayrıca x≥1x \ge 1 koşulu, köklü ifadenin tanım aralığı olan x≥1/2x \ge 1/2 koşulunu da sağladığı için çözüm kümesi [1,∞)[1, \infty) aralığıdır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak köklerden kurtulmaya çalış.
(x+2x−1−x−2x−1)2=(2)2(\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} - \sqrt{x - \sqrt{2x-1}})^2 = (\sqrt{2})^2
Köklü ifadelerde çözüm için en yaygın yöntem kare almaktır; bu işlem denklemi basitleştirir.
2
Tam kare açılımını ((a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2) uygula.
(x+2x−1)−2(x+2x−1)(x−2x−1)+(x−2x−1)=2(x + \sqrt{2x-1}) - 2\sqrt{(x + \sqrt{2x-1})(x - \sqrt{2x-1})} + (x - \sqrt{2x-1}) = 2
Birinci ve üçüncü terimdeki kökler kare alınca kalkar, ortadaki terim ise iki kökün çarpımı olur.
3
İfadeyi düzenle ve ortadaki kök içindeki iki kare farkını hesapla.
2x−2x2−(2x−1)=2  ⟹  2x−2x2−2x+1=22x - 2\sqrt{x^2 - (2x-1)} = 2 \implies 2x - 2\sqrt{x^2 - 2x + 1} = 2
(A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2 özdeşliği kullanılır.
4
Kök içindeki ifadenin (x−1)2(x-1)^2 olduğunu gör ve kök dışına mutlak değerle çıkar.
2x−2(x−1)2=2  ⟹  2x−2∣x−1∣=22x - 2\sqrt{(x-1)^2} = 2 \implies 2x - 2|x-1| = 2
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| kuralı burada kritiktir. Çoğu hata bu adımda mutlak değerin unutulmasıyla yapılır.
5
Denklemi sadeleştir ve mutlak değerin tanımını uygula.
x−∣x−1∣=1  ⟹  ∣x−1∣=x−1x - |x-1| = 1 \implies |x-1| = x - 1
Bu eşitlik, ancak ve ancak mutlak değerin içi negatif değilse (x−1≥0x-1 \ge 0) sağlanır.
6
Sonuç kümesini ve tanım aralığını belirle.
x−1≥0  ⟹  x≥1x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1. Tanım aralığı (x≥1/2x \ge 1/2) ile kesişimi: [1,∞)[1, \infty).
Mutlak değer dışına aynen çıkması için x≥1x \ge 1 olmalıdır.

Key Concept

İç İçe Kökler ve Mutlak Değer

Hints

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak dıştaki köklerden kurtulmayı deneyin.
2
Kare aldıktan sonra elde edeceğiniz x2−2x+1\sqrt{x^2 - 2x + 1} ifadesini (x−1)2\sqrt{(x-1)^2} olarak yazın.
3
A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A| kuralını unutmayın. ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1 eşitliği hangi xx değerleri için sağlanır?

Practice More

x2−4x+4+∣x−2∣=0\sqrt{x^2 - 4x + 4} + |x-2| = 0 denkleminin çözüm kümesini soran bir soru çözülebilir.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Köklü İfadeler

More questions from this topic