Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={x2+1,x c¸ift sayı ise3x−1,x tek sayı isef(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} + 1, & x \text{ çift sayı ise} \\ 3x - 1, & x \text{ tek sayı ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanmıştır.

Buna göre, (f∘f)(a)=11(f \circ f)(a) = 11 eşitliğini sağlayan aa değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    38
  3. 45Answer
  4. D
    51
  5. E
    55

Answer

45
Bileşke fonksiyon sorularında dıştan içe doğru gidilir. f(f(a))=11f(f(a))=11 eşitliğinde önce dıştaki fonksiyonu 11 yapan değer aranır. Fonksiyonun parçalı tanımı gereği, sonuç 11 olduğunda girdi ya y/2+1=11⇒y=20y/2+1=11 \Rightarrow y=20 (çift şartını sağlar) ya da 3y−1=11⇒y=43y-1=11 \Rightarrow y=4 (tek şartını SAĞLAMAZ) olur. Dolayısıyla f(a)=20f(a)=20 olmalıdır. Benzer şekilde f(a)=20f(a)=20 için de iki durum incelenir: a=38a=38 (çift, geçerli) ve a=7a=7 (tek, geçerli). Bu değerlerin toplamı 45'tir.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği (f∘f)(a)=f(f(a))=11(f \circ f)(a) = f(f(a)) = 11 eşitliğini çözmek için önce f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapılır ve f(y)=11f(y) = 11 denklemi incelenir.
f(y)=11f(y) = 11
Fonksiyonun tersinden giderek içteki değeri bulmak için.
2
f(y)=11f(y) = 11 olması için iki durumu (tek ve çift) kontrol et.
Durum 1 (Çift): y2+1=11⇒y=20\frac{y}{2} + 1 = 11 \Rightarrow y = 20. 20 çift sayı olduğu için GEÇERLİDİR.
Durum 2 (Tek): 3y−1=11⇒3y=12⇒y=43y - 1 = 11 \Rightarrow 3y = 12 \Rightarrow y = 4. 4 tek sayı olmadığı için GEÇERSİZDİR.
Parçalı fonksiyonun tanım aralığı (tek/çift olma şartı) kontrol edilmelidir.
3
Bulunan geçerli y=20y = 20 değeri için, f(a)=20f(a) = 20 eşitliğini sağlayan aa değerlerini bul.
Durum 1 (Çift): a2+1=20⇒a2=19⇒a=38\frac{a}{2} + 1 = 20 \Rightarrow \frac{a}{2} = 19 \Rightarrow a = 38. (38 çifttir, GEÇERLİ)
Durum 2 (Tek): 3a−1=20⇒3a=21⇒a=73a - 1 = 20 \Rightarrow 3a = 21 \Rightarrow a = 7. (7 tektir, GEÇERLİ)
İkinci aşamada tekrar fonksiyonun ters görüntülerini bulmak için.
4
Bulunan geçerli aa değerlerini topla.
38+7=4538 + 7 = 45
Soruda a değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve ters görüntü (görüntü kümesinden tanım kümesine geçiş) işlemlerinde tanım koşullarının kontrolü.

Hints

1
(f∘f)(a)=f(f(a))(f \circ f)(a) = f(f(a)) olduğunu hatırlayın. Önce f(k)=11f(k) = 11 olacak şekilde kk değerini bulmaya çalışın.
2
f(k)=11f(k) = 11 denklemini çözerken, fonksiyonun iki farklı kuralı olduğunu unutmayın. Bulduğunuz kk değerinin o kural için gerekli 'tek' veya 'çift' şartını sağlayıp sağlamadığını mutlaka kontrol edin.
3
İlk adımda 3k−1=113k-1=11 derseniz k=4k=4 bulursunuz, ancak kural 'tek sayılar' içindir. 4 tek sayı olmadığı için bu çözümü elemelisiniz. Sadece k=20k=20 değeri geçerlidir. Şimdi f(a)=20f(a)=20 için tekrar çözüm yapın.

Alternative Method

Deneme yanılma yerine, ters fonksiyon mantığıyla f−1(11)f^{-1}(11) kümesini bulup, bu kümenin elemanları için tekrar ters fonksiyon uygulayabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic