Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlar
Uygun koşullarda tanımlı ff ve gg fonksiyonları için;
f(x+1x−2)=3x−1f\left(\frac{x+1}{x-2}\right) = 3x - 1
g(x)=2x−ag(x) = 2x - a
eşitlikleri veriliyor.

(f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 olduğuna göre, aa kaçtır?

  1. -8Answer
  2. B
    -2
  3. C
    1
  4. D
    8
  5. E
    20

Answer

Verilen eşitlikler ve ters fonksiyon özellikleri kullanılarak a'nın değeri -8 olarak bulunur.
Sorunun çözümü için öncelikle (f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 ifadesi f(2)=g(3)f(2) = g(3) eşitliğine dönüştürülmelidir. Daha sonra fonksiyonların tanımları kullanılarak ilgili değerler hesaplanır. f(2)f(2)'yi bulmak için fonksiyonun içindeki x+1x−2\frac{x+1}{x-2} ifadesini 2 yapan xx değeri (x=5x=5) bulunup yerine yazıldığında f(2)=14f(2)=14 elde edilir. g(3)=6−ag(3)=6-a olduğundan, 14=6−a14=6-a denkleminden doğru cevap -8 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyon ve ters fonksiyon özelliğini kullanma
f(2) = g(3)
(f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 ifadesi f−1(g(3))=2f^{-1}(g(3)) = 2 demektir. Ters fonksiyonun tanımı gereği bu ifade f(2)=g(3)f(2) = g(3) eşitliğine denktir.
2
g(3) değerini hesaplama
g(3) = 6 - a
g(x)=2x−ag(x) = 2x - a fonksiyonunda x yerine 3 yazılır: 2(3)−a=6−a2(3) - a = 6 - a.
3
f(2) değerini bulmak için uygun x değerini belirleme
x = 5
f(x+1x−2)f\left(\frac{x+1}{x-2}\right) ifadesinin içinin 2 olması gerekir. x+1x−2=2⇒x+1=2(x−2)⇒x+1=2x−4⇒x=5\frac{x+1}{x-2} = 2 \Rightarrow x+1 = 2(x-2) \Rightarrow x+1 = 2x - 4 \Rightarrow x = 5.
4
f(2) değerini hesaplama
f(2) = 14
Bulunan x=5x=5 değeri f fonksiyonunun kuralında (3x−13x-1) yerine yazılır: f(2)=3(5)−1=14f(2) = 3(5) - 1 = 14.
5
Bulunan değerleri eşitleyip a'yı çözme
a = -8
f(2)=g(3)f(2) = g(3) olduğundan 14=6−a14 = 6 - a denklemi elde edilir. Buradan a=6−14=−8a = 6 - 14 = -8 bulunur.

Key Concept

Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon İlişkisi

Hints

1
(f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 ifadesini, ters fonksiyonun temel özelliğini kullanarak f(2)=g(3)f(2) = g(3) şeklinde yazmayı deneyin.
2
f(2)f(2) değerini bulmak için, ff fonksiyonunun parantez içindeki x+1x−2\frac{x+1}{x-2} ifadesini 2'ye eşitleyen xx değerini bulmanız gerekir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic