Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 2

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 3 ile tam bölünür}\}

B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 4 ile tam bölünür}\}

Bu bilgilere göre, $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi olan $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

71

35

73

86

61

Show answer & explanation

Answer: 73

Answer

Doğru cevap 73'tür.

Soruda verilen mutlak değer eşitsizliği

|x| \le 72

, sayıların

-72 \le x \le 72

aralığında olduğunu gösterir. Bu aralıkta 3'e bölünen 49 sayı (

s(A)

), 4'e bölünen 37 sayı (

s(B)

) vardır. Hem 3'e hem 4'e bölünen (12'nin katı) 13 sayı (

s(A \cap B)

) mevcuttur. Birleşim formülü

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

uygulandığında

49 + 37 - 13 = 73

sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin eleman sayısını hesapla.

s(A) = 49

A kümesi, -72 ile 72 arasındaki 3'ün katlarıdır. Terim sayısı formülü: [(Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1. Buradan [72 - (-72)]/3 + 1 = 144/3 + 1 = 48 + 1 = 49 bulunur.

2

B kümesinin eleman sayısını hesapla.

s(B) = 37

B kümesi, -72 ile 72 arasındaki 4'ün katlarıdır. Terim sayısı: [72 - (-72)]/4 + 1 = 144/4 + 1 = 36 + 1 = 37 bulunur.

3

Kesişim kümesi A ∩ B'nin kuralını ve eleman sayısını belirle.

s(A ∩ B) = 13

Kesişim kümesi, hem 3'e hem 4'e bölünen, yani EKOK(3,4)=12'ye bölünen sayılardır. Aralık [-72, 72]. Terim sayısı: [72 - (-72)]/12 + 1 = 144/12 + 1 = 12 + 1 = 13.

4

Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).

s(A ∪ B) = 73

49 + 37 - 13 = 73 olarak hesaplanır.

Key Concept

Kümelerin birleşim eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B). Tam sayılar kümesinde negatif sayıların ve 0'ın da dahil edilmesi unutulmamalıdır.

Hints

1

Önce verilen mutlak değer eşitsizliğini, bir sayı aralığı olarak yazınız (örneğin

-a \le x \le a

).

2

Belirlediğiniz aralıkta 3'ün katı olan ve 4'ün katı olan kaç tane tam sayı olduğunu terim sayısı formülüyle bulunuz. 0 sayısının her iki kümede de olduğunu unutmayınız.

3

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülünü kullanın.

A \cap B

kümesi, hem 3 hem de 4'e bölünen, yani 12'ye bölünen sayıları içerir.

Practice More

Benzer mantıkla, '3'e bölünüp 5'e bölünmeyen' sayıların sayısını soran fark işlemi problemleri çözülebilir.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde düşünerek; 0'dan 72'ye kadar olan pozitif kısım için hesap yapıp (2 ile çarpıp), sonra 0'ı (1 adet) ekleyerek de sonuca ulaşabilirsiniz. Pozitiflerde: s(A+)=24, s(B+)=18, s(Kes+)=6. Birleşim(Pozitif) = 24+18-6=36. Negatifler için de 36. Toplam: 36 + 36 + 1(Sıfır) = 73.

Estimated Time:2m 30s

Question 22Question →

$A$ ve $B$ kümeleri tam sayılar kümesi üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \mid 15 \le x \le 150, \, x = 3k, \, k \in \mathbb{Z}\}

B = \{x \mid 20 < x < 180, \, x = 4m, \, m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi olan $s(A \cup B)$ değeri kaçtır?

63

74

75

79

85

Show answer & explanation

Answer: 74

Answer

İstenen birleşim kümesinin eleman sayısı 74'tür.

Doğru cevap, kümelerin birleşim formülü olan

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

bağıntısının doğru uygulanmasıyla bulunur. Öncelikle her kümenin eleman sayısı terim sayısı formülüyle [(Son-İlk)/Artış + 1] hesaplanmalıdır. A kümesi için 46, B kümesi için 39 eleman bulunur. Kesişim kümesi ise iki aralığın kesişimi olan (20, 150] aralığında 12'nin katlarıdır ve 11 elemanlıdır. Sonuç

46 + 39 - 11 = 74

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin eleman sayısını (s(A)) hesapla.

46

A kümesi 15 ile 150 arasındaki (sınırlar dahil) 3'ün katlarıdır. Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1 formülünden; (150 - 15) / 3 + 1 = 135/3 + 1 = 45 + 1 = 46.

2

B kümesinin eleman sayısını (s(B)) hesapla.

39

B kümesi 20 ile 180 arasındaki (sınırlar hariç) 4'ün katlarıdır. İlk terim 24, son terim 176'dır. Terim Sayısı = (176 - 24) / 4 + 1 = 152/4 + 1 = 38 + 1 = 39.

3

Kesişim kümesinin (A ∩ B) aralığını ve bölenini belirle.

Aralık: (20, 150], Bölen: 12

Kesişim kümesi her iki aralığın ortak bölgesidir: max(15, 20) < x ≤ min(150, 180) yani 20 < x ≤ 150. Elemanlar hem 3'ün hem 4'ün katı olmalı, yani EKOK(3,4) = 12'nin katı olmalıdır.

4

Kesişim kümesinin eleman sayısını (s(A ∩ B)) hesapla.

11

Aralıktaki ilk terim 24, son terim 144'tür. Terim Sayısı = (144 - 24) / 12 + 1 = 120/12 + 1 = 10 + 1 = 11.

5

Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).

74

46 + 39 - 11 = 74.

Key Concept

Birleşim Kümesi Formülü ve Ardışık Sayı Dizileri

Hints

1

Önce her iki kümenin eleman sayılarını ayrı ayrı hesaplayın. 'Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1' formülünü kullanın.

2

Kesişim kümesi (A ∩ B), hem 3'ün hem de 4'ün katı olan sayıları içerir. Yani 12'nin katlarına bakmalısınız. Ayrıca sayı aralığı her iki kümenin de ortak olduğu bölge olmalıdır.

3

Kesişim aralığı 20 < x ≤ 150 olacaktır. Bu aralıktaki 12'nin katlarını bulup, birleşim formülü olan s(A) + s(B) - s(A ∩ B) işlemini uygulayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, 'veya' bağlacı yerine 've' bağlacı kullanarak koşullu olasılık bağlamında çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Venn şeması çizerek sadece A'da olan (A\B), sadece B'de olan (B\A) ve her ikisinde olan (A ∩ B) eleman sayılarını ayrı ayrı bulup toplayabilirsiniz: s(A\B)=35, s(B\A)=28, s(A∩B)=11. Toplam = 74.

Estimated Time:2m 30s

Question 23Question →

Aşağıdaki Venn şemasında $A \cup B$ kümesi taralı olarak gösterilmiştir.

Buna göre, taralı bölgedeki eleman sayısı, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısından kaç fazladır?

2

3

5

7

9

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Taralı bölgedeki eleman sayısı kesişim kümesindeki eleman sayısından 5 fazladır.

Venn şemasına bakıldığında,

A

ve

B

kümelerinin tüm elemanlarını içeren taralı bölge (birleşim) 7 elemanlıdır. Her iki kümenin ortak bölgesi olan kesişim kısmı ise 2 elemanlıdır. Soruda istenen fark işlemi yapıldığında

7 - 2 = 5

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Taralı bölgeyi (birleşim kümesini) tanımlamak ve elemanlarını saymak.

A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

olduğu için

s(A \cup B) = 7

olur.

Venn şemasında taralı olan alan tüm elemanları kapsayan birleşim bölgesidir.

2

Kesişim kümesini tanımlamak ve elemanlarını saymak.

A \cap B = \{4, 5\}

olduğu için

s(A \cap B) = 2

olur.

Kesişim kümesi, şemada her iki dairenin ortak olduğu orta bölgedir.

3

İki kümenin eleman sayıları arasındaki farkı hesaplamak.

7 - 2 = 5

Soru, birleşim kümesinin kesişim kümesinden ne kadar fazla elemana sahip olduğunu sormaktadır.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Hints

1

Şemadaki tüm sayıları sayarak birleşim kümesinin eleman sayısını bulun.

2

Her iki dairenin iç içe geçtiği orta kısımdaki elemanları sayarak kesişim kümesinin eleman sayısını bulun.

3

Bulduğunuz bu iki sayı arasındaki farkı (çıkarma işlemi) hesaplayın.

Practice More

Üç kümeli Venn şemalarında birleşim ve kesişim bölgelerini belirleme çalışmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, sadece A kümesine ait elemanlar (1, 2, 3) ile sadece B kümesine ait elemanların (6, 7) toplamını alarak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz:

3 + 2 = 5

.

Estimated Time:1m 0s

Question 24Question →

$A = \{10, 20, 30\}$ ve $B = \{30, 40, 50, 60\}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki Venn şemasında $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi ( $A \cup B$ ) taralı bölge ile gösterilmiştir. Buna göre, $A \cup B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

\{30\}

\{10, 20, 40, 50, 60\}

\{10, 20, 30\}

\{30, 40, 50, 60\}

Show answer & explanation

Answer: $\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}$

Answer

\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

kümesi,

A

ve

B

kümelerinin tüm elemanlarının birleşimini temsil eder.

Birleşim kümesi (

A \cup B

), her iki kümenin de elemanı olan veya sadece birinin elemanı olan tüm nesneleri içerir. Ortak olan 30 elemanı bir kez yazılarak tüm elemanlar

\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

şeklinde listelenir.

Step-by-Step Solution

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını listeleyelim.

A = \{10, 20, 30\}

ve

B = \{30, 40, 50, 60\}

Birleşim işlemini gerçekleştirmek için önce küme elemanlarını bilmemiz gerekir.

2

Ortak elemanları belirleyelim.

Ortak eleman:

30

Birleşim kümesinde her eleman yalnızca bir kez yazılır.

3

Tüm elemanları birleştirerek

A \cup B

kümesini oluşturalım.

A \cup B = \{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

Birleşim kümesi (

A \cup B

), her iki kümede bulunan tüm farklı elemanların toplandığı kümedir.

Key Concept

Kümelerde Birleşim İşlemi

Hints

1

Birleşim kümesi (

\\cup

), her iki kümede gördüğünüz tüm elemanların 'torbaya atılmış' halidir.

2

Ortak olan elemanları (bu soruda 30) birleşim kümesine yazarken sadece bir kez yazmanız yeterlidir.

3

Venn şemasında taralı olan tüm alanın içindeki sayıları sırasıyla listeleyin: 10, 20, 30, 40, 50, 60.

Practice More

Kesişim kümesini (

A \cap B

) bulmak için sadece her iki dairenin ortak (üst üste binen) bölgesindeki elemanlara odaklanmalısın.

Estimated Time:45s

Question 25Question →

Bir kamu kurumunda düzenlenen hizmet içi eğitim programında, personelin tamamı 'İş Sağlığı ve Güvenliği' veya 'Etkili İletişim' seminerlerinden en az birine katılmıştır. İş Sağlığı ve Güvenliği seminerine katılanların sayısı, Etkili İletişim seminerine katılanların sayısının 3 katıdır. Sadece İş Sağlığı ve Güvenliği seminerine katılanların sayısı, sadece Etkili İletişim seminerine katılanların sayısının 4 katıdır. Her iki seminere de katılan personel sayısı 6 olduğuna göre, bu programa katılan toplam personel sayısı kaçtır?

48

54

60

66

72

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

Toplam personel sayısı 66'dır.

Toplam personel sayısı, sadece bir seminere katılanlar ile her iki seminere katılanların toplamıdır. Denklem çözümünden sadece Etkili İletişim seminerine katılanlar 12, sadece İş Sağlığı seminerine katılanlar 48 kişi bulunur. Her ikisine katılan 6 kişi ile birlikte toplam

48 + 12 + 6 = 66

olur.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.

İş Sağlığı ve Güvenliği kümesi

A

, Etkili İletişim kümesi

B

olsun. Sadece

B

kümesinde olanlara (

B \setminus A

)

k

diyelim. Verilen bilgiye göre sadece

A

kümesinde olanlar (

A \setminus B

)

4k

olur. Kesişim (

A \cap B

) ise 6'dır.

Sorudaki kat ilişkisini matematiksel ifadelere dökmek için.

2

Her bir kümenin eleman sayısını

k

cinsinden ifade et.

s(A) = (4k) + 6

ve

s(B) = k + 6

.

Küme eleman sayıları, 'sadece o kümeye ait olanlar' ve 'kesişim' toplamından oluşur.

3

Verilen kat ilişkisine göre eşitliği kur ve

k

değerini çöz.

s(A) = 3 \cdot s(B)

olduğu için

4k + 6 = 3(k + 6)

denklemi kurulur.

4k + 6 = 3k + 18 \Rightarrow k = 12

.

Bilinmeyen

k

değerini bulmak için problemdeki temel ilişkiyi kullanmak gerekir.

4

Toplam personel sayısını (birleşim kümesi) hesapla.

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 4k + k + 6 = 5k + 6

.

k=12

için:

5(12) + 6 = 60 + 6 = 66

.

Sonuç için tüm alt grupların toplamını bulmak.

Key Concept

Kümelerde Birleşim İşlemi Formülü:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

veya ayrık bölgelerin toplamı.

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes