Sayma ve Olasılık

Question 141Question →

$0, 2, 2, 4, 4, 5$ rakamlarının tamamı kullanılarak $6$ basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?

96

120

126

132

150

Show answer & explanation

Answer: 126

Answer

Sayıların çift olması ve 0'ın başa gelememesi kuralı dikkate alınarak toplam 126 farklı sayı yazılabilir.

Verilen rakamlar arasında 0 bulunduğu ve çift sayı istendiği için çözüm üç ayrı durumda incelenmelidir: son basamağın 0, 2 veya 4 olması. Son basamak 0 olduğunda 30 durum, 2 olduğunda 48 durum ve 4 olduğunda 48 durum oluşur. Bu durumların toplamı 126'dır.

Step-by-Step Solution

1

Sorudaki kısıtlamaları belirle.

Sayı 6 basamaklı olmalı (ilk basamak 0 olamaz) ve çift olmalı (son basamak 0, 2 veya 4 olmalı). Verilen rakamlar: {0, 2, 2, 4, 4, 5}.

Çift sayı şartı son basamağı, 6 basamaklı olma şartı ilk basamağı etkiler. Bu yüzden durumları son basamağa göre ayırmalıyız.

2

1. Durum: Son basamağın 0 olduğu sayıları hesapla.

Son basamak 0 ise geriye {2, 2, 4, 4, 5} kalır. Tekrarlı permütasyon:

\frac{5!}{2! \cdot 2!} = \frac{120}{4} = 30

.

0 sonda kullanıldığı için başa gelme riski yoktur. 2 ve 4 rakamları ikişer kez tekrar etmektedir.

3

2. Durum: Son basamağın 2 olduğu sayıları hesapla (Sıfır başa gelmemeli).

Tüm dizilimler (başa 0 gelebilir):

\frac{5!}{1! \cdot 2!} = 60

. Başa 0 gelenler (istenmeyen):

\frac{4!}{1! \cdot 2!} = 12

. Sonuç:

60 - 12 = 48

.

Son basamak 2 ise geriye {0, 2, 4, 4, 5} kalır. 0'ın başa geldiği durumları tüm durumlardan çıkarmalıyız.

4

3. Durum: Son basamağın 4 olduğu sayıları hesapla (Sıfır başa gelmemeli).

Tüm dizilimler:

\frac{5!}{2! \cdot 1!} = 60

. Başa 0 gelenler:

\frac{4!}{2! \cdot 1!} = 12

. Sonuç:

60 - 12 = 48

.

Son basamak 4 ise geriye {0, 2, 2, 4, 5} kalır. İşlem mantığı 2. durumla aynıdır.

5

Tüm durumları topla.

30 + 48 + 48 = 126

.

Bu üç durum birbirinden ayrıdır (ayrık olaylar), bu yüzden toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Kısıtlı Sayma

Hints

1

Çift sayı olması için son basamağa hangi rakamların gelebileceğini belirleyin: 0, 2 veya 4.

2

Sıfırın hem sonda hem de başta olma durumu kafa karıştırabilir. Bu yüzden 'son basamağı 0 olanlar' ile 'son basamağı 0 olmayanlar' (2 veya 4) durumlarını ayrı ayrı hesaplayın.

3

Son basamak 0 ise geriye kalan 5 rakamı (tekrarlıları bölerek) sıralayın. Son basamak 2 veya 4 ise, tüm durumlardan 0'ın başa geldiği durumları çıkarın.

Practice More

İçinde 0 bulunan tekrarlı permütasyon sorularında 'kaç tane tek sayı vardır' versiyonunu çözün.

Alternative Method

Tüm durumlar - (Tek sayı olanlar + 0 ile başlayanlar) yöntemiyle de gidilebilir ancak bu soruda 0 ile başlayanları ve tek sayıları ayrıştırmak daha karmaşık olabilir. En güvenli yöntem son basamağa göre durum incelemesidir.

Estimated Time:3m 0s

Question 142Question →

Bir kamu kurumunun teknik dairesinde görevli $6$ mühendis ve $5$ mimar arasından $4$ kişilik bir proje değerlendirme komisyonu oluşturulacaktır. Oluşturulacak bu komisyonda en az $2$ mühendis bulunması koşuluyla, seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

250

265

330

540

600

Show answer & explanation

Answer: 265

Answer

Komisyon 265 farklı şekilde seçilebilir.

İstenen koşul 'en az 2 mühendis' olduğundan, komisyon yapısı üç farklı senaryoda gerçekleşebilir: 2 mühendis ve 2 mimar, 3 mühendis ve 1 mimar veya tamamı mühendis (4 mühendis). Her bir senaryo için kombinasyon hesabı yapılıp elde edilen sonuçlar toplandığında doğru sayıya ulaşılır (

150 + 100 + 15 = 265

).

Step-by-Step Solution

1

Problemin koşullarını ve olası durumları belirle.

Toplam 4 kişi seçilecek. Havuz: 6 Mühendis, 5 Mimar. Koşul: En az 2 mühendis. Durumlar: (2 Müh, 2 Mim), (3 Müh, 1 Mim), (4 Müh, 0 Mim).

'En az 2 mühendis' ifadesi, mühendis sayısının 2, 3 veya 4 olabileceği alternatif durumları kapsar.

2

Birinci durumu (2 Mühendis, 2 Mimar) hesapla.

C(6,2) \times C(5,2) = 15 \times 10 = 150

6 mühendisten 2'si ve 5 mimardan 2'si seçilir. Olaylar bağımlı olduğu için çarpılır.

3

İkinci durumu (3 Mühendis, 1 Mimar) hesapla.

C(6,3) \times C(5,1) = 20 \times 5 = 100

6 mühendisten 3'ü ve 5 mimardan 1'i seçilir.

4

Üçüncü durumu (4 Mühendis, 0 Mimar) hesapla.

C(6,4) \times C(5,0) = 15 \times 1 = 15

Komisyonun tamamı mühendislerden oluşur.

5

Tüm durumları topla.

150 + 100 + 15 = 265

Farklı durumlar birbirine alternatiftir (veya bağlacı), bu yüzden toplanır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Toplama Kuralı

Question 143Question →

Bir hastanenin yönetim kurulunda 3 doktor, 4 hemşire ve 2 laborant görev yapmaktadır. Bu kuruldan rastgele seçilen 3 kişinin en az birinin doktor olduğu bilinmektedir. Buna göre, seçilen kişilerden sadece ikisinin doktor olma olasılığı kaçtır?

9/32

3/14

1/64

3/64

5/32

Show answer & explanation

Answer: 9/32

Answer

Seçilen kişilerden sadece ikisinin doktor olma olasılığı 9/32'dir.

Soruda 'en az birinin doktor olduğu bilindiğine göre' ifadesi kullanıldığı için, tüm olası durumlar (C(9,3)=84) yerine sadece içinde en az bir doktor olan durumlar (84 - C(6,3) = 64) paydaya yazılır. İstenen durum ise seçilenlerden sadece ikisinin doktor olmasıdır (2 doktor ve 1 doktor olmayan). Bu durumların sayısı C(3,2) * C(6,1) = 3 * 6 = 18'dir. Olasılık 18/64 = 9/32 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tüm durumların sayısını ve koşulu sağlayan örnek uzayı belirle.

Toplam kişi sayısı 9'dur (3D + 4H + 2L). Rastgele 3 kişi seçimi C(9,3) = 84 farklı şekilde yapılabilir.

Olasılık hesabı için önce tüm olası seçimlerin sayısı bulunmalıdır.

2

Koşulu sağlayan durum sayısını hesapla (En az birinin doktor olduğu durumlar).

Hiç doktor seçilmeyen durumlar (doktor olmayan 6 kişiden 3 seçim): C(6,3) = 20. En az bir doktor seçilen durumlar: Tüm Durumlar - Hiç Doktor Olmayan = 84 - 20 = 64.

Koşullu olasılıkta payda, koşulu sağlayan durum sayısıdır.

3

İstenen durum sayısını hesapla (Sadece ikisinin doktor olduğu durumlar).

Sadece 2 doktor seçilmesi için: 3 doktordan 2'si (C(3,2)) ve kalan 6 kişiden 1'i (C(6,1)) seçilmelidir. İstenen Durum Sayısı = 3 * 6 = 18.

Pay kısmına, koşulu sağlayan durumlar içinden soruda istenen özel durumun sayısı yazılır.

4

Olasılığı hesapla.

Olasılık = İstenen Durum Sayısı / Koşulu Sağlayan Durum Sayısı = 18 / 64 = 9 / 32.

Sonuç sadeleştirilerek seçeneklerde aranır.

Key Concept

Koşullu olasılık problemlerinde örnek uzay daraltılır; 'bilindiğine göre' ifadesinden önceki şart yeni örnek uzayı (paydayı) oluşturur.

Hints

1

'Bilindiğine göre' ifadesi, hesaplamanız gereken toplam durum sayısını (paydayı) değiştirir. Tüm ihtimallerden, hiç doktor seçilmeyen durumları çıkarın.

2

Payda için: 9 kişiden 3 kişi seçmenin tüm yollarından (C(9,3)), hiç doktor olmayan 6 kişiden 3 kişi seçmenin yollarını (C(6,3)) çıkarın.

3

Pay için: 3 doktordan 2'sini ve kalan 6 kişiden 1'ini seçmeniz gerekir. C(3,2) * C(6,1) işlemini yapın.

Practice More

Benzer bir soruyu 'en az birinin hemşire olduğu bilindiğine göre' şartıyla çözmeyi deneyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 144Question →

Bir dil kursunda bulunan $A$ ve $B$ sınıflarındaki kursiyerlerin cinsiyetlerine göre dağılımı hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $A$ sınıfında $8$ kadın ve $4$ erkek kursiyer bulunmaktadır.
* $B$ sınıfında $6$ kadın ve $12$ erkek kursiyer bulunmaktadır.

Bu kursiyerler arasından rastgele seçilen bir kişinin kadın olduğu bilindiğine göre, bu kişinin $A$ sınıfında olma olasılığı kaçtır?

\frac{4}{15}

\frac{2}{3}

\frac{7}{15}

\frac{4}{7}

\frac{3}{7}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{7}$

Answer

Seçilen kişinin kadın olduğu bilindiğine göre, örnek uzay toplam kadın sayısı olan

14

kişidir. Bu grupta

A

sınıfından olan

8

kadın bulunduğu için olasılık

\frac{8}{14} = \frac{4}{7}

olarak bulunur.

Seçilen kişinin kadın olduğu kesin bir bilgi olduğu için tüm olası durumlar toplam kadın sayısı olan

8 + 6 = 14

olur. Bu

14

kadın arasından

A

sınıfında olanların sayısı

8

olduğu için olasılık

\frac{8}{14}

sadeleştiğinde

\frac{4}{7}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Koşul olan toplam kadın sayısını belirleyelim.

8

(A sınıfı) +

6

(B sınıfı) =

14

kadın.

Koşullu olasılık sorularında 'bilindiğine göre' ifadesinden önceki kısım yeni örnek uzayımızı oluşturur.

2

Koşula uygun istenen durum sayısını belirleyelim.

A

sınıfındaki kadın sayısı =

8

.

Soruda kişinin kadın olduğu bilgisiyle birlikte A sınıfında olma olasılığı istenmektedir.

3

Olasılık değerini hesaplayalım.

P(A | \text{Kadın}) = \frac{s(A \cap \text{Kadın})}{s(\text{Kadın})} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}

.

Olasılık, istenen durum sayısının örnek uzaydaki toplam durum sayısına oranıdır.

Key Concept

Koşullu olasılıkta, bir

B

olayının gerçekleştiği biliniyorsa,

A

olayının gerçekleşme olasılığı

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

formülüyle hesaplanır. Bu durumda örnek uzay

B

olayının eleman sayısına indirgenir.

Hints

1

Önce kurstaki toplam kadın sayısını hesaplayarak yeni örnek uzayınızı belirleyin.

2

Kadın olduğu bilindiğine göre, artık erkek kursiyerlerin sayısının olasılık paydasında bir önemi kalmamıştır.

3

İstenen olasılık = (A sınıfındaki kadın sayısı) / (Toplam kadın sayısı) formülüyle bulunur.

Practice More

Benzer bir soruda 'A sınıfından seçilen birinin erkek olma olasılığı' ile 'erkek olduğu bilinen birinin A sınıfından olma olasılığı' arasındaki farkı inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Verileri bir tabloya yerleştirerek toplamları bulun. Sadece 'Kadın' sütununa odaklanın. Bu sütundaki 'A Sınıfı' hücresindeki değeri, sütun toplamına oranlayın.

Estimated Time:1m 15s

Question 145Question →

Bir belediyenin çevre düzenleme birimi, bir parkın yürüyüş yolu kenarına $8$ adet aydınlatma direği dikecektir. Bu direklerin $3$ tanesi beyaz, $3$ tanesi yeşil ve $2$ tanesi kırmızı renktedir. Aynı renkli direkler kendi aralarında özdeştir.

Buna göre, kırmızı renkli direklerin yan yana gelmediği kaç farklı dizilim yapılabilir?

140

280

420

560

1120

Show answer & explanation

Answer: 420

Answer

Kırmızı direklerin yan yana gelmediği toplam dizilim sayısı 420'dir.

Doğru çözüm için önce tüm dizilimler (

560

) hesaplanır, ardından kırmızı direklerin tek bir blok olarak kabul edildiği yan yana olma durumları (

140

) bu sayıdan çıkarılır. Sonuç olan

420

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Tüm olası dizilimlerin sayısını hesaplayın.

\frac{8!}{3! \times 3! \times 2!} = \frac{40320}{6 \times 6 \times 2} = 560

Toplam 8 nesnenin 3'ü beyaz, 3'ü yeşil ve 2'si kırmızı olduğundan tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.

2

Kırmızı direklerin yan yana olduğu durumları hesaplayın.

\frac{7!}{3! \times 3!} = \frac{5040}{36} = 140

İki kırmızı direk tek bir nesne gibi düşünülürse toplam nesne sayısı 7 olur (1 kırmızı paket + 3 beyaz + 3 yeşil).

3

Kırmızıların yan yana gelmediği durum sayısını bulun.

560 - 140 = 420

İstenen durum sayısı, tüm durumlardan istenmeyen (yan yana olma) durumların çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum Mantığı

Hints

1

Bu tür sorularda 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' mantığını kullanmak çözümü kolaylaştırır.

2

Tüm durumlar

\frac{8!}{3!3!2!}

ile hesaplanırken, kırmızıların yan yana olduğu durumlar iki kırmızıyı tek bir nesne sayarak

\frac{7!}{3!3!}

ile hesaplanır.

3

Alternatif olarak 'Boşluk Yöntemi'ni deneyebilirsiniz: Önce beyaz ve yeşil direkleri dizin, ardından oluşan boşluklara kırmızıları yerleştirin.

Practice More

Benzer bir soruyu, bir kelimenin harfleri arasında belirli harflerin yan yana gelmemesi şartıyla çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Boşluk Yöntemi: Önce 3 Beyaz ve 3 Yeşil direk

\frac{6!}{3!3!} = 20

farklı şekilde dizilir. Bu 6 direğin arasında ve uçlarında toplam 7 boşluk oluşur. 2 kırmızı direk bu 7 boşluğa

\binom{7}{2} = 21

farklı şekilde yerleştirilebilir. Sonuç:

20 \times 21 = 420

.

Estimated Time:1m 30s

Question 146Question →

Bir $ABC$ üçgeninin kenarları üzerinde toplam $9$ farklı nokta işaretlenmiştir. Bu noktaların $3$ 'ü üçgenin köşeleri olup; $AB$ kenarı üzerinde (köşeler hariç) $2$ nokta, $BC$ kenarı üzerinde (köşeler hariç) $3$ nokta ve $AC$ kenarı üzerinde (köşeler hariç) $1$ nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu $9$ noktadan seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

69

70

74

80

84

Show answer & explanation

Answer: 69

Answer

Köşeleri bu noktalar olan toplam 69 farklı üçgen oluşturulabilir.

Doğru cevap 69'dur çünkü 9 noktadan seçilebilecek tüm 84 üçlü gruptan,

AB

kenarındaki 4 noktanın oluşturduğu 4 grup,

BC

kenarındaki 5 noktanın oluşturduğu 10 grup ve

AC

kenarındaki 3 noktanın oluşturduğu 1 grup (toplam 15 grup) doğrusal oldukları için üçgen oluşturmaz.

84 - 15 = 69

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam nokta sayısını belirle ve tüm üçlü seçimleri hesapla.

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 noktadan oluşturulabilecek maksimum üçgen sayısını bulmak için kombinasyon kullanılır.

2

Her bir kenar üzerindeki toplam nokta sayısını (köşeler dahil) belirle.

AB

üzerinde

2+2=4

nokta,

BC

üzerinde

3+2=5

nokta,

AC

üzerinde

1+2=3

nokta vardır.

Kenarlar üzerindeki doğrusal noktalar üçgen oluşturmaz; bu yüzden her kenardaki nokta sayısı ayrı ayrı tespit edilmelidir.

3

Kenarlar üzerindeki doğrusal noktaların üçlü seçimlerini hesapla.

AB

için:

\binom{4}{3} = 4

,

BC

için:

\binom{5}{3} = 10

,

AC

için:

\binom{3}{3} = 1

.

Aynı doğru üzerindeki 3 nokta birleştirildiğinde bir üçgen değil, bir doğru parçası oluşturur.

4

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.

84 - (4 + 10 + 1) = 84 - 15 = 69

.

Geometrik olarak mümkün olan gerçek üçgen sayısına ulaşmak için doğrusal durumlar genel toplamdan çıkarılır.

Key Concept

Kombinasyon kullanılarak geometrik şekil oluşturma problemlerinde, genel seçim sayısından (doğrusallık gibi) kısıtlamalara uymayan durumlar çıkarılır.

Hints

1

Toplam nokta sayısından yola çıkarak tüm olasılıkları hesaplayın ve üçgen oluşturmayan durumları belirleyin.

2

Bir üçgenin kenarı üzerindeki tüm noktalar (köşeler dahil) doğrusaldır. Doğrusal noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamaz.

3

\binom{9}{3}

toplam durumdur.

AB

üzerindeki 4 noktadan,

BC

üzerindeki 5 noktadan ve

AC

üzerindeki 3 noktadan yapılan üçlü seçimleri bu toplamdan çıkarmalısınız.

Practice More

Bir çember üzerindeki noktalarla bir doğru üzerindeki noktaların karıştırıldığı senaryoları inceleyerek kombinasyon mantığını pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 147Question →

Bir belediyenin bütçe planlama komisyonunda görevlendirilmek üzere; $4$ ekonomist ve $6$ maliye uzmanı arasından $3$ kişilik bir teknik çalışma grubu seçilecektir.

Grupta en az bir ekonomistin bulunması şartıyla bu seçimin kaç farklı şekilde yapılabileceği aşağıdakilerden hangisidir?

20

60

96

100

120

Show answer & explanation

Answer: $100$

Answer

En az bir ekonomistin bulunduğu seçimler

100

farklı şekilde yapılabilir.

Soru bizden en az bir ekonomistin bulunduğu durumları istemektedir. Bu tür kısıtlamalı kombinasyon sorularında en pratik çözüm yolu, yapılabilecek tüm

3

kişilik seçimlerin sayısından (

120

), içinde hiç ekonomist bulunmayan (yani tamamı maliye uzmanı olan) seçimlerin sayısını (

20

) çıkarmaktır. Yapılan

120 - 20 = 100

işlemi bizi doğrudan doğru sonuca ulaştırır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam aday sayısını ve seçilecek grup büyüklüğünü belirleyin.

4

ekonomist +

6

maliye uzmanı =

10

aday; seçilecek kişi sayısı =

3

.

Kombinasyon hesabı için toplam eleman sayısını ve seçim sayısını bilmemiz gerekir.

2

Hiçbir kısıtlama olmaksızın yapılabilecek tüm seçimlerin sayısını hesaplayın.

C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120

.

Tüm durumlar yöntemini (tüm durumlar - istenmeyen durumlar) kullanmak için toplam olasılıkları bulmalıyız.

3

İstenmeyen durumu (hiç ekonomist seçilmemesi, yani grubun tamamının maliye uzmanı olması) hesaplayın.

C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

.

'En az bir' koşulunun sağlanmadığı tek durum, o grupta hiç ekonomist olmamasıdır.

4

Tüm durumlardan istenmeyen durum sayısını çıkarın.

120 - 20 = 100

.

Tamamlayıcı sayma ilkesine göre, tüm seçimlerden sadece maliye uzmanlarının olduğu seçimleri çıkardığımızda geriye en az bir ekonomistin olduğu seçimler kalır.

Key Concept

Tamamlayıcı Sayma Yöntemi (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum)

Hints

1

'En az bir' kısıtlaması olan sorularda 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum' yöntemini kullanmak sizi daha hızlı sonuca götürür.

2

Buradaki istenmeyen durum, grupta hiç ekonomist bulunmaması; yani

3

kişilik grubun sadece

6

maliye uzmanı arasından seçilmesidir.

3

10

kişi arasından

3

kişiyi seçin (

120

), sonra

6

maliye uzmanı arasından

3

kişiyi seçin (

20

) ve bu iki sonucu birbirinden çıkarın.

Practice More

Eğer grupta 'en fazla bir' ekonomist bulunması istenseydi, çözüm için hangi durumları toplamanız gerekirdi?

Alternative Method

İstenen durumları ayrı ayrı hesaplayarak da sonuca ulaşabilirsiniz: (

1

Ekonomist ve

2

Maliye Uzmanı) + (

2

Ekonomist ve

1

Maliye Uzmanı) + (

3

Ekonomist ve

0

Maliye Uzmanı). Hesaplama:

C(4,1) \times C(6,2) + C(4,2) \times C(6,1) + C(4,3) \times C(6,0) = 4 \times 15 + 6 \times 6 + 4 \times 1 = 60 + 36 + 4 = 100

.

Estimated Time:1m 30s

Question 148Question →

a

ve

b

pozitif tam sayılardır.

\frac{a!}{b!} = 990

olduğuna göre,

b

'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

989

990

997

998

1001

Show answer & explanation

Answer: 997

Answer

Doğru cevap 997'dir.

Faktöriyel bölme işlemi

\frac{a!}{b!}

, ardışık sayıların çarpımı anlamına gelir. Çarpımı 990 olan ardışık sayı dizileri aranmalıdır. Birinci durum, sayının kendisidir:

a=990

ve

b=989

(çünkü

\frac{990!}{989!} = 990

). İkinci durum, 990'ın ardışık çarpanlarıdır:

11 \cdot 10 \cdot 9 = 990

. Bu durumda

a=11

ve

b=8

(çünkü

\frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9

).

b

'nin alabileceği değerler 989 ve 8 olup, toplamları 997'dir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliği düzenleyin ve anlamını belirleyin.

a! = 990 \cdot b!

veya

\frac{a!}{b!} = 990

olarak yazılır. Bu ifade,

b

'den büyük ve

a

'ya kadar olan ardışık tam sayıların çarpımının 990 olduğunu gösterir.

Faktöriyel tanımı gereği

\frac{a!}{b!} = a(a-1)...(b+1)

çarpımına eşittir.

2

Tek çarpanlı (aşikar) durumu inceleyin.

990 sayısı tek bir sayı olarak düşünülebilir. Bu durumda çarpım sadece

a

'dan ibarettir.

a=990

için

\frac{990!}{989!} = 990

olur. Buradan ilk değer

b_1 = 989

bulunur.

Her

n

sayısı için

\frac{n!}{(n-1)!} = n

eşitliği geçerlidir.

3

Çok çarpanlı durumları (ardışık sayı dizilerini) araştırın.

990 sayısını ardışık çarpanlarına ayıralım.

990 = 10 \cdot 99 = 10 \cdot 9 \cdot 11

. Sayıları sıralarsak

11 \cdot 10 \cdot 9 = 990

elde edilir. Bu çarpım

\frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9

ifadesine karşılık gelir. Buradan

a=11

ve

b_2=8

bulunur.

990 sayısı üç ardışık sayının çarpımı şeklinde yazılabilir.

4

Başka durum olup olmadığını kontrol edip sonuçları toplayın.

Başka ardışık çarpım (örneğin 2 veya 4 sayılı) 990 sonucunu vermez. Bulunan

b

değerleri 989 ve 8'dir. Toplam:

989 + 8 = 997

.

Farklı çözüm kümelerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Çarpımı ve Faktöriyel

Hints

1

Verilen

\frac{a!}{b!} = 990

eşitliğini, ardışık sayıların çarpımı olarak düşünün. Örneğin

\frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20

gibi.

2

Çarpımı 990 olan ardışık sayı gruplarını arayın. Bir grup sadece tek bir sayıdan (990) oluşabilir.

3

990 sayısını çarpanlarına ayırın:

99 \cdot 10

. Bunu ardışık üç sayının çarpımı (

n \cdot (n-1) \cdot (n-2)

) şeklinde yazmaya çalışın.

Practice More

Benzer şekilde

\frac{x!}{y!} = 210

eşitliğini sağlayan kaç farklı

(x,y)

ikilisi olduğunu bulunuz.

Estimated Time:2m 30s

Question 149Question →

$A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 3 basamaklı tüm doğal sayılar ayrı ayrı kartlara yazılıp bir torbaya atılıyor.

Buna göre, torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının 200’den büyük ve çift sayı olma olasılığı kaçtır?

\frac{7}{20}

\frac{3}{8}

\frac{7}{16}

\frac{1}{2}

\frac{5}{8}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{16}$

Answer

Torbadan çekilen sayının 200'den büyük ve çift olma olasılığı

\frac{7}{16}

'dır.

Doğru cevap, örnek uzayın ve istenen durumun adım adım kısıtlamalara uygun olarak sayılmasıyla bulunur. Rakamları birbirinden farklı 3 basamaklı sayılar için örnek uzay

4 \times 4 \times 3 = 48

'dir. İstenen olay (200'den büyük ve çift) için yüzler basamağının 2, 3 veya 4 olduğu durumlar incelenmelidir. Yüzler basamağı çift (2, 4) olduğunda birler basamağı seçenekleri azalırken, tek (3) olduğunda azalmaz. Bu ayrım yapılarak toplam 21 istenen durum bulunur. Sonuç

\frac{21}{48}

kesrinin sadeleştirilmesiyle

\frac{7}{16}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Tüm durumların sayısını (Örnek Uzay,

s(E)

) hesapla.

s(E) = 4 \times 4 \times 3 = 48

Yüzler basamağına 0 gelemez (4 seçenek: 1,2,3,4). Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri, birler basamağına kalan 3 rakamdan biri gelir.

2

İstenen olayın (A) şartlarını belirle.

Sayı > 200 (Yüzler basamağı 2, 3, 4 olmalı) VE Çift (Birler basamağı 0, 2, 4 olmalı).

Rakamlar farklı olduğu için 200 sayısı yazılamaz, bu nedenle 2 ile başlayan tüm sayılar 200'den büyüktür.

3

İstenen durumları yüzler basamağının tek/çift olmasına göre ayrı ayrı incele.

Durum 1 (Yüzler: 2 veya 4), Durum 2 (Yüzler: 3)

Yüzler basamağına çift sayı gelirse, birler basamağı için kullanılabilir çift sayı adedi azalır. Bu yüzden durumlar ayrı hesaplanmalıdır.

4

Durum 1: Yüzler basamağı 2 veya 4 ise (Çift)

6 + 6 = 12

durum

Yüzler 2 ise: Birler {0,4} (2 seçenek), Onlar kalan 3 seçenek

\rightarrow 1 \times 3 \times 2 = 6

. Yüzler 4 ise aynı şekilde 6 durum.

5

Durum 2: Yüzler basamağı 3 ise (Tek)

9

durum

Yüzler 3 ise: Birler {0,2,4} (3 seçenek), Onlar kalan 3 seçenek

\rightarrow 1 \times 3 \times 3 = 9

.

6

Olasılığı hesapla.

P(A) = \frac{12 + 9}{48} = \frac{21}{48} = \frac{7}{16}

İstenen durum sayısı / Tüm durum sayısı.

Key Concept

Koşullu Sayma ve Olasılık

Hints

1

Önce tüm 3 basamaklı, rakamları farklı sayıların sayısını (örnek uzay) bulun. Yüzler basamağına 0 gelemeyeceğini unutmayın.

2

İstenen durum için sayı hem çift olmalı hem de yüzler basamağı 2, 3 veya 4 olmalıdır. Yüzler basamağına çift sayı gelmesi ile tek sayı gelmesi durumlarını ayrı ayrı inceleyin.

3

Yüzler basamağı 2 veya 4 olduğunda birler basamağı için kaç seçenek kalıyor? Yüzler basamağı 3 olduğunda kaç seçenek kalıyor? Bu iki durumu toplayarak istenen durum sayısını bulun.

Alternative Method

Tüm >200 olan sayıları bulup (Yüzler 2,3,4 -> 3*4*3=36 tane), bunlardan tek olanları çıkararak da çiftleri bulabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 150Question →

Bir belediye görevlisi, 'Yöresel Tanıtım Günleri' kapsamında hazırlanan bir hediye paketine 5 farklı yerel meyve türü ve 4 farklı el sanatı ürünü arasından birer adet ekleyecektir. Buna göre, bu görevli hediye paketini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

9

16

1

20

25

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Hediye paketi 20 farklı şekilde oluşturulabilir.

Beş farklı meyve arasından bir seçim yapıldıktan sonra, bu seçimin her biri için dört farklı el sanatı seçeneği mevcuttur. Bu durum saymanın temel ilkesi olan çarpma kuralını gerektirir ve

5 \times 4 = 20

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Seçilebilecek meyve türü sayısını tespit edin.

5 farklı meyve türü bulunmaktadır.

İlk aşamadaki seçenek sayısını belirlemek için.

2

Seçilebilecek el sanatı ürünü sayısını tespit edin.

4 farklı el sanatı ürünü bulunmaktadır.

İkinci aşamadaki seçenek sayısını belirlemek için.

3

İki grup arasından birer adet seçim yapılacağı ve seçimler birbirine bağlı (ve) olduğu için çarpma kuralını uygulayın.

5 \times 4 = 20

Birbirini takip eden veya birlikte gerçekleşen olayların toplam seçenek sayısını bulmak için çarpma kuralı kullanılır.

Key Concept

Sayma Kuralları: Çarpma Yoluyla Sayma

Hints

1

Soruda geçen 've' bağlacına dikkat edin. 'Ve' bağlacı genellikle hangi matematiksel işlemi temsil eder?

2

Her bir meyve seçimi için kaç farklı el sanatı ürünü seçebileceğinizi düşünün. Örneğin 1. meyveyi seçerseniz, yanına 4 farklı ürün koyabilirsiniz.

3

Toplam durumu bulmak için meyve sayısı ile el sanatı ürünü sayısını çarpmanız gerekmektedir.

Practice More

Eğer görevli meyve 'veya' el sanatı ürününden sadece birini seçecek olsaydı sonuç kaç olurdu? (Bu durumda toplama kuralı uygulanırdı).

Estimated Time:45s

Question 151Question →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde dosyaları kodlamak için 7 haneli numaralar oluşturulacaktır. Bu işlem için eldeki etiket stoğunda yalnızca aşağıdaki rakamlar kalmıştır:

* 2 adet 0
* 2 adet 2
* 3 adet 3

Bu rakamların tamamı kullanılarak oluşturulabilecek 7 basamaklı ve çift sayı olan kaç farklı kod numarası üretilebilir?

80

90

100

120

150

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

İstenen şartları sağlayan 90 farklı kod numarası üretilebilir.

Verilen rakam kümesi {0, 0, 2, 2, 3, 3, 3} şeklindedir. Sayının çift olması için birler basamağı {0} veya {2} olmalıdır. Ayrıca 7 basamaklı olması için başa 0 gelemez. Bu iki şart birbirini etkilediği için (elde kalan 0 sayısı değiştiğinden) işlem iki durumda incelenmelidir. İlk durumda birler basamağına 0 sabitlenir, kalan {0, 2, 2, 3, 3, 3} rakamları dizilir ve başa 0 gelenler çıkarılır (50 adet). İkinci durumda birler basamağına 2 sabitlenir, kalan {0, 0, 2, 3, 3, 3} rakamları dizilir ve başa 0 gelenler çıkarılır (40 adet). Toplam 90 farklı sayı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen rakam kümesini ve kısıtlamaları belirle.

Küme: {0, 0, 2, 2, 3, 3, 3}. Toplam 7 rakam. Kısıtlamalar: 7 basamaklı (başa 0 gelemez) ve çift sayı (sona 0 veya 2 gelmeli).

Tekrarlı permütasyon formülü kullanılacak ancak kısıtlamalar nedeniyle durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.

2

1. Durum: Sayının son basamağının 0 olduğu durumu hesapla.

Son basamak 0 ise geriye kalanlar: {0, 2, 2, 3, 3, 3}. Toplam dizilim: 6!/(1!2!3!) = 60. Başa 0 gelme durumu çıkarılırsa: 60 - 10 = 50.

Geriye kalan 6 rakamdan 0 başa gelirse sayı 6 basamaklı olur, bu durumlar toplamdan çıkarılmalıdır.

3

2. Durum: Sayının son basamağının 2 olduğu durumu hesapla.

Son basamak 2 ise geriye kalanlar: {0, 0, 2, 3, 3, 3}. Toplam dizilim: 6!/(2!1!3!) = 60. Başa 0 gelme durumu çıkarılırsa: 60 - 20 = 40.

Burada geriye kalan kümede iki adet 0 olduğu için, başa 0 gelme olasılığı 1. duruma göre daha yüksektir (2/6).

4

Elde edilen sonuçları topla.

50 (sonu 0 olanlar) + 40 (sonu 2 olanlar) = 90.

Bu iki durum ayrık olaylardır, toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Kısıtlamalı Tekrarlı Permütasyon

Hints

1

Sayının çift olması için son basamağı 0 veya 2 olmalıdır. Bu iki durumu ayrı ayrı incelemelisiniz.

2

7 basamaklı bir sayı 0 ile başlayamaz. Hesapladığınız tüm dizilimlerden, 0 ile başlayan hatalı durumları çıkarmanız gerekir.

3

Son basamak 0 olduğunda geriye bir tane 0 kalır; ancak son basamak 2 olduğunda geriye iki tane 0 kalır. Bu yüzden 'sonu 2 olan' sayılar için başa 0 gelme ihtimali daha yüksektir ve sonuç farklı çıkacaktır.

Practice More

Benzer mantıkla, '5 ile bölünebilen' sayılar sorulduğunda son basamağın 0 veya 5 olması durumlarını inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Tüm permütasyon hesabından gidip oranlama yapabilirsiniz. Örneğin sonu 2 olanlar için: Toplam 60 dizilim vardır. Geriye kalan 6 sayıdan 2 tanesi sıfırdır, yani 4/6'sı sıfır olmayan (geçerli) başlangıç yapar. 60 * (4/6) = 40.

Estimated Time:2m 30s

Question 152Question →

Bir kamu kurumunda çalışan toplam $100$ personelden $60$ 'ı Strateji Geliştirme biriminde, geri kalanlar ise Personel biriminde görev yapmaktadır. Kurumun düzenlediği sertifika programı sonunda yapılan sınav sonuçlarına ilişkin veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Birim Adı	Personel Sayısı	Başarı Oranı
Strateji Geliştirme	$60$	$\%80$
Personel	$40$	$\%70$

Buna göre, bu personeller arasından rastgele seçilen birinin sınavda başarılı olduğu bilindiğine göre, bu personelin Strateji Geliştirme biriminde görev yapma olasılığı kaçtır?

\frac{12}{19}

\frac{7}{19}

\frac{4}{5}

\frac{12}{25}

\frac{19}{25}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{12}{19}$

Answer

Sınavda başarılı olduğu bilinen bir personelin Strateji Geliştirme biriminde görev yapma olasılığı

\frac{12}{19}

'dur.

Verilen bilgilere göre kurumda toplam 76 başarılı personel bulunmaktadır. Bu başarılı personellerin 48 tanesi Strateji Geliştirme birimindendir. Dolayısıyla rastgele seçilen başarılı birinin bu birimden olma olasılığı 48/76 yani sadeleştiğinde 12/19 olur.

Step-by-Step Solution

1

Birimlerdeki başarılı personel sayılarını hesaplayalım.

Strateji Geliştirme:

60 \times 0,80 = 48

kişi. Personel Birimi:

40 \times 0,70 = 28

kişi.

Koşullu olasılık hesaplamak için alt kümelerin eleman sayıları gereklidir.

2

Koşulun belirlediği yeni örnek uzayı (toplam başarılı sayısı) bulalım.

Toplam Başarılı Sayısı =

48 + 28 = 76

.

"Başarılı olduğu bilindiğine göre" ifadesi örnek uzayımızı sadece başarılı olanlarla kısıtlar.

3

İstenen durumun olasılığını hesaplayalım.

Olasılık =

\frac{\text{Strateji ve Başarılı}}{\text{Toplam Başarılı}} = \frac{48}{76}

.

Koşullu olasılık formülü gereği istenen durumun yeni örnek uzayına oranı alınır.

4

Kesri sadeleştirelim.

\frac{48 \div 4}{76 \div 4} = \frac{12}{19}

.

En sade halini bulmak için pay ve payda 4 ile bölünür.

Key Concept

Koşullu Olasılık: Bir A olayının gerçekleştiği bilindiğinde B olayının gerçekleşme olasılığı

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

formülüyle hesaplanır.

Hints

1

"Başarılı olduğu bilindiğine göre" ifadesi, artık sadece başarılı olan kişiler arasından seçim yapacağınız anlamına gelir.

2

Önce Strateji Geliştirme ve Personel birimlerindeki başarılı kişi sayılarını ayrı ayrı bulun, sonra bunları toplayarak yeni paydanızı oluşturun.

3

Strateji Geliştirme'de 48, Personel biriminde 28 başarılı vardır. Toplam 76 başarılı arasından 48 kişinin oranını arıyoruz.

Practice More

Bağımsız olaylar ile koşullu olasılık arasındaki farkı pekiştirmek için iki torbadan top çekme sorularına göz atabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 153Question →

Bir belediyenin sosyal yardım birimine bir ay içerisinde yapılan başvuruların bölgelere ve yardım türlerine göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Bölge	Gıda Yardımı	Eğitim Yardımı
Merkez	$40$	$20$
Kırsal	$30$	$10$

Bu başvurular arasından rastgele seçilen bir başvurunun gıda yardımı başvurusu olduğu bilindiğine göre, bu başvurunun merkez bölgesinden yapılmış olma olasılığı kaçtır?

\frac{2}{5}

\frac{2}{3}

\frac{1}{2}

\frac{3}{7}

\frac{4}{7}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{7}$

Answer

Seçilen başvurunun gıda yardımı olduğu bilindiğine göre, örnek uzay 70 kişiden oluşur ve merkez bölgesinden olanların bu gruptaki oranı

\frac{4}{7}

'dir.

Verilen bilgilere göre, seçilen başvurunun 'gıda yardımı' olduğu kesinleşmiştir. Bu durumda toplam başvuru sayısı olan 100 yerine sadece gıda yardımı yapan 70 kişi dikkate alınmalıdır. Bu 70 kişi içerisinden merkez bölgesinden olanların sayısı 40 olduğu için olasılık

40/70 = 4/7

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Koşulun belirlediği yeni örnek uzayını (örneklem uzayını) hesapla.

40 + 30 = 70

(Toplam Gıda Yardımı başvurusu)

Koşullu olasılıkta 'bilindiğine göre' ifadesi, hesaplamanın yapılacağı ana grubu (paydayı) sınırlar.

2

Yeni örnek uzayı içerisindeki istenen durumu belirle.

40

(Merkez bölgesinden yapılan gıda yardımı başvurusu)

İstenen durum hem merkez bölgesinden olma hem de gıda yardımı olma şartını aynı anda sağlamalıdır.

3

İstenen durum sayısını yeni örnek uzay sayısına oranla.

\frac{40}{70} = \frac{4}{7}

Olasılık, istenen durumun örnek uzaya bölünmesiyle elde edilir.

Key Concept

Koşullu Olasılık:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

formülü ile hesaplanır. Burada

B

olayı örnek uzayını daraltan koşuldur.

Hints

1

'Olduğu bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen durumu tablodan toplayarak yeni örnek uzayını (paydayı) bulun.

2

Gıda yardımı sütunundaki sayıları toplayarak payda değerini belirleyin, ardından bu toplamın içindeki merkez bölgesine ait sayıyı paya yazın.

Practice More

Eğer başvurunun 'merkez bölgesinden' olduğu bilinseydi, gıda yardımı olma olasılığı kaç olurdu sorusunu çözerek kavramı pekiştirin.

Estimated Time:1m 30s

Question 154Question →

Bir düzlem üzerinde bulunan 9 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Doğrulardan 4 tanesi birbirine paraleldir.
* Farklı 3 doğru ise sabit bir A noktasında kesişmektedir.
* Geriye kalan 2 doğru, ne birbirine ne de diğer doğrulara paraleldir ve A noktasından geçmemektedir.

Buna göre, bu doğrularla oluşturulabilecek üçgen sayısı en çok kaçtır?

49

50

79

80

84

Show answer & explanation

Answer: 49

Answer

Doğrularla oluşturulabilecek en çok üçgen sayısı 49'dur.

Toplam 9 doğrudan rastgele 3'ü seçildiğinde C(9,3)=84 durum oluşur. Ancak üçgen oluşabilmesi için doğruların aynı noktada kesişmemesi ve birbirine paralel olmaması gerekir. 1) 4 paralel doğrudan 3'ü seçilemez (C(4,3)=4). 2) 4 paralel doğrudan 2'si seçilirse, üçüncü doğru ne olursa olsun üçgen oluşmaz (C(4,2)×5=30). 3) A noktasında kesişen 3 doğru seçilirse üçgen oluşmaz (C(3,3)=1). Toplam geçerli sayı: 84 - 4 - 30 - 1 = 49'dur.

Step-by-Step Solution

1

Tüm doğruların oluşturabileceği toplam üçgen kombinasyonunu hesapla.

C(9,3) = (9×8×7)/(3×2×1) = 84.

Herhangi üç doğru bir üçgen oluşturabilir varsayımıyla başlanır.

2

Üç kenarı da paralel olan doğruların oluşturduğu (oluşturamadığı) durumları çıkar.

4 paralel doğrudan seçilen 3 doğru üçgen oluşturmaz: C(4,3) = 4 durum çıkarılır.

Üçgenin kenarları birbirine paralel olamaz.

3

İki kenarı paralel olan doğruların oluşturduğu (oluşturamadığı) durumları çıkar.

4 paralel doğrudan 2'si ve diğer 5 doğrudan 1'i seçilirse üçgen oluşmaz: C(4,2) × C(5,1) = 6 × 5 = 30 durum çıkarılır.

Bir üçgenin iki kenarı birbirine paralel olamaz (yamuk veya açık şekil oluşur).

4

Aynı noktada kesişen (noktadaş) doğruların oluşturduğu (oluşturamadığı) durumları çıkar.

A noktasında kesişen 3 doğru üçgen oluşturmaz: C(3,3) = 1 durum çıkarılır.

Üç doğrunun tek noktada kesişmesi üçgen değil, nokta oluşturur.

5

Kalan geçerli üçgen sayısını hesapla.

84 - 4 - 30 - 1 = 49.

Toplamdan geçersiz durumlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Key Concept

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma

Hints

1

Bir üçgen oluşturmak için 3 doğruya ihtiyaç vardır, ancak bu doğruların birbirine paralel olmaması ve tek bir noktada kesişmemesi gerekir.

2

Önce hiçbir şart yokmuş gibi 9 doğrunun 3'lü kombinasyonlarını hesaplayın (C(9,3)). Sonra üçgen oluşturmayan durumları (3'ü paralel, 2'si paralel, 3'ü noktadaş) toplamdan çıkarın.

3

Unutmayın: Bir üçgenin iki kenarı paralel olamaz. Bu yüzden 4 paralel doğrudan herhangi 2'sini seçtiğinizde, üçüncü doğru ne olursa olsun üçgen oluşmaz.

Alternative Method

Yapıcı Yöntem: Üçgenleri doğrudan oluşturarak sayabilirsiniz. 1) Paralel olmayan (O) gruptan 2 doğru, Paralel (P) gruptan 1 doğru seçimi: (C(5,2)-1)×4 = 36. 2) O gruptan 3 doğru seçimi: C(5,3)-1 = 9. Toplam 36+9=45? Dikkat: A noktasından geçmeyen paralellerle oluşan ek durumlar karmaşıktır, çıkarma yöntemi daha güvenlidir.

Estimated Time:2m 30s

Question 155Question →

Bir kamu kurumunun teknik hizmetler biriminde görev yapan $5$ mühendis ve $4$ mimar arasından $4$ kişilik bir proje denetim komisyonu oluşturulacaktır. Komisyonun seçiminde aşağıdaki şartlara uyulması zorunludur:

1. Komisyonda en az $2$ mühendis bulunmalıdır.
2. Mühendislerden Elif Hanım ile Mimarlardan Kemal Bey, kurum içi çalışma prensipleri gereği aynı komisyonda birlikte görev almamalıdır.

Buna göre, bu denetim komisyonu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

75

84

87

105

126

Show answer & explanation

Answer: 87

Answer

Komisyon

87

farklı şekilde oluşturulabilir.

Problemin çözümü için 'Tüm Geçerli Durumlar' kümesinden 'Kısıtlamaya Uymayan Durumlar' alt kümesinin çıkarılması gerekir. Öncelikle 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan tüm gruplar hesaplanır (105). Daha sonra bu grupların içinden Elif ve Kemal'in birlikte bulunduğu durumlar (18) çıkarılır. Sonuç

105 - 18 = 87

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci şartı (en az 2 mühendis) sağlayan tüm olası grupların sayısını hesapla.

\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2} + \binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1} + \binom{5}{4}\cdot\binom{4}{0} = (10\cdot6) + (10\cdot4) + (5\cdot1) = 60 + 40 + 5 = 105

Komisyonda 2 mühendis, 3 mühendis veya 4 mühendis bulunabilir.

2

Birinci şartı sağlayan gruplar içinden, ikinci şarta uymayan (Elif ve Kemal'in birlikte olduğu) durumları tespit et.

Elif (Mühendis) ve Kemal (Mimar) seçildiğinde, geriye kalan 2 kişi için kalan havuzdan (

4

Mühendis,

3

Mimar) seçim yapılır. Toplam mühendis sayısının en az 2 olması gerektiğinden, kalan 2 kişiden en az biri daha mühendis olmalıdır:

1 \text{ Müh} + 1 \text{ Mim: } \binom{4}{1}\cdot\binom{3}{1} = 12

2 \text{ Müh} + 0 \text{ Mim: } \binom{4}{2}\cdot\binom{3}{0} = 6

Toplam İstenmeyen Durum:

12 + 6 = 18

Elif ve Kemal birlikteyken toplam mühendis sayısının 2'nin altına düşmemesi gerekir. (Sadece 2 mimar seçilirse toplam 1 mühendis olur, bu durum zaten Adım 1'deki 105 sayısına dahil değildir, o yüzden çıkarılmaz).

3

Tüm geçerli durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

105 - 18 = 87

Genel kümeden kısıtlamayı ihlal eden alt küme çıkarılır.

Key Concept

Koşullu Kombinasyon Problemleri (Tüm Durum - İstenmeyen Durum)

Hints

1

Problemi iki aşamada düşünün: Önce yasaklı ikili şartını yok sayarak 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan tüm durumları hesaplayın.

2

Bulduğunuz tüm durumlardan, 'hem en az 2 mühendis şartını sağlayan hem de Elif ve Kemal'in birlikte olduğu' istenmeyen durumları çıkarın.

3

İstenmeyen durumda Elif ve Kemal zaten seçilidir. Yanlarına seçilecek 2 kişinin, grubun toplam mühendis sayısını 2 veya üzerine tamamlaması gerektiğini unutmayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 156Question →

$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 4 basamaklı ve $3000$ 'den büyük kaç farklı çift sayı yazılabilir?

72

84

90

96

108

Show answer & explanation

Answer: 96

Answer

96

Sayı 3000'den büyük olacağı için binler basamağı {3, 4, 5} olabilir. Sayı çift olacağı için birler basamağı {0, 2, 4} olabilir. 4 rakamı her iki koşulu da etkilediği için problem iki parça halinde çözülmelidir: 1) Binler basamağı tek sayı olanlar (3, 5) ve 2) Binler basamağı çift sayı olanlar (4). Birinci durumda

2 \times 4 \times 3 \times 3 = 72

sayı, ikinci durumda

1 \times 4 \times 3 \times 2 = 24

sayı elde edilir. Toplam

72 + 24 = 96

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Koşulları Belirleme

Sayı 4 basamaklı, rakamları farklı, >3000 ve çift olmalı.

Binler basamağı {3, 4, 5} olabilir. Birler basamağı {0, 2, 4} olabilir. '4' rakamı her iki kümede de olduğu için inceleme iki ayrı durumda yapılmalıdır.

2

1. Durum: Sayının tek rakamla (3 veya 5) başlaması

72 sayı

Binler basamağına {3, 5} (2 seçenek) gelir. Birler basamağına {0, 2, 4} (3 seçenek) gelebilir. Kalan 2 basamak için kalan 4 rakamdan 2'si seçilip sıralanır (

4 \times 3 = 12

). İşlem:

2 \times 12 \times 3 = 72

.

3

2. Durum: Sayının çift rakamla (4) başlaması

24 sayı

Binler basamağına {4} (1 seçenek) gelir. Birler basamağına {0, 2} (2 seçenek) kalır (4 kullanıldığı için). Kalan 2 basamak için yine

4 \times 3 = 12

seçenek vardır. İşlem:

1 \times 12 \times 2 = 24

.

4

Toplam Durum Sayısını Hesaplama

96

İki ayrık durum toplanır:

72 + 24 = 96

.

Key Concept

Koşullu Permütasyon ve Kesişim Kümesi

Hints

1

Sayının 3000'den büyük olması için binler basamağı hangi rakamlar olabilir? Sayının çift olması için birler basamağı hangi rakamlar olabilir?

2

'4' rakamına dikkat edin. 4 hem binler basamağına (büyüklük şartı) hem de birler basamağına (çiftlik şartı) adaydır. Bu çakışmayı çözmek için durumu ikiye ayırın.

3

İki ayrı durumu toplayın: 1) Binler basamağının {3, 5} olduğu durumlar. 2) Binler basamağının {4} olduğu durumlar.

Alternative Method

Tüm >3000 olan sayıları bulup, bunlardan tek sayı olanları çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 157Question →

Şekildeki yarım çember üzerinde toplam 9 nokta verilmiştir. Bu noktalardan 4 tanesi yarım çemberin çapı üzerinde, diğer 5 tanesi ise çember yayı üzerindedir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

70

74

80

84

120

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

80 farklı üçgen çizilebilir.

Doğru cevap, toplam 9 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısından (84), üçgen oluşturmayan doğrusal 4 noktanın oluşturduğu 3'lü grupların sayısının (4) çıkarılmasıyla bulunur (84 - 4 = 80).

Step-by-Step Solution

1

Tüm noktalardan yapılabilecek toplam üçlü seçim sayısını hesapla.

C(9, 3) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 84

Herhangi 3 nokta seçimi potansiyel bir üçgendir, ancak doğrusal olanlar elenmelidir.

2

Doğrusal olan (çap üzerindeki) noktalardan yapılan üçlü seçim sayısını hesapla.

C(4, 3) = 4

Çap üzerindeki 4 nokta doğrusaldır ve bu noktalardan seçilen 3 nokta bir üçgen oluşturmaz, sadece bir doğru parçası oluşturur.

3

Toplam seçim sayısından üçgen oluşturmayan (doğrusal) seçimleri çıkar.

84 - 4 = 80

Geometrik kısıtlama (doğrusallık) nedeniyle geçersiz durumlar toplamdan düşülür.

Key Concept

Üçgen oluşturma şartı için, seçilen 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir. Toplam kombinasyondan doğrusal olanların kombinasyonu çıkarılır.

Hints

1

Bir üçgen oluşturmak için 3 noktaya ihtiyacınız vardır. Öncelikle hiç şart yokmuş gibi 9 noktadan kaç farklı 3'lü seçebileceğinizi bulun.

2

Aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) 3 nokta birleştirildiğinde üçgen oluşmaz. Çap üzerindeki noktaları kontrol edin.

3

Toplam kombinasyon sayısı C(9,3)'tür. Çap üzerindeki 4 nokta doğrusaldır, bu yüzden C(4,3) kadar durum üçgen oluşturmaz. Bunları toplamdan çıkarın.

Alternative Method

Durumları toplayarak da çözebilirsiniz: (1 Nokta Çap + 2 Nokta Yay) + (2 Nokta Çap + 1 Nokta Yay) + (3 Nokta Yay). Yani: C(4,1)*C(5,2) + C(4,2)*C(5,1) + C(5,3) = 40 + 30 + 10 = 80.

Estimated Time:1m 30s

Question 158Question →

(x^3 - y^2)^n

ifadesinin

x

ve

y

değişkenlerine göre açılımında terimlerden biri

k \cdot x^{12} \cdot y^6

(

k

bir gerçel sayı) olduğuna göre, bu açılımdaki terim sayısı kaçtır?

6

7

8

9

10

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Verilen binom açılımındaki terim sayısı 8'dir.

Verilen terimdeki üsler incelendiğinde,

x^3

ifadesinin 4. kuvvetinin ve

y^2

ifadesinin 3. kuvvetinin çarpıldığı görülür. Bu durum, binom açılımındaki n-r ve r değerlerinin toplamının

4+3=7

olduğunu gösterir. n=7 olan bir açılımda ise toplam terim sayısı n+1 formülünden dolayı 8 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Genel terim formülünü yazma

T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-y^2)^r

Binom açılımındaki herhangi bir terimin yapısını analiz etmek için genel terim formülü kullanılır.

2

Değişkenlerin üslerini düzenleme

T_{r+1} = \binom{n}{r} \cdot (-1)^r \cdot x^{3(n-r)} \cdot y^{2r}

Verilen terimdeki üslerle karşılaştırma yapabilmek için üslü ifade kuralları uygulanır.

3

Üsleri verilen terimle eşitleme

3(n-r) = 12 \Rightarrow n-r = 4

ve

2r = 6 \Rightarrow r = 3

Verilen terimdeki x'in üssü 12 ve y'nin üssü 6 olduğu için denklemler kurulur.

4

n değerini bulma

n = 4 + 3 = 7

n-r ve r değerleri toplandığında açılımın ana kuvveti olan n değeri elde edilir.

5

Toplam terim sayısını hesaplama

n + 1 = 7 + 1 = 8

Bir binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına (n+1) eşittir.

Key Concept

Binom açılımında genel terim ve terim sayısı özellikleri

Hints

1

Genel terim formülünü hatırlayın:

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

2

x^{12}

elde etmek için

(x^3)

ifadesinin kaçıncı kuvveti alınmalıdır?

3

x'in üssü olan 12'yi 3'e, y'nin üssü olan 6'yı 2'ye bölerek n-r ve r değerlerini bulun, ardından n+1'i hesaplayın.

Practice More

Katsayılar toplamı ve sabit terim bulma kurallarını tekrar ederek bu soru tipini pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 159Question →

Bir düzlemde yer alan bir çember ile bir doğru, iki farklı noktada kesişmektedir. Bu iki kesişim noktası haricinde, çember üzerinde 4, doğru üzerinde ise 3 farklı nokta daha işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen çizilebilir?

70

74

79

83

84

Show answer & explanation

Answer: 74

Answer

Verilen noktalar kullanılarak toplam 74 farklı üçgen çizilebilir.

Toplam 9 nokta vardır. Tüm üçlü seçimler C(9,3) = 84'tür. Ancak aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz. Doğru üzerinde 2'si kesişim, 3'ü harici olmak üzere toplam 5 nokta vardır. Bu 5 noktadan seçilen üçlüler (C(5,3)=10) üçgen oluşturmaz. Çember üzerindeki noktalar ise kendi aralarında doğrusal değildir. Bu nedenle doğru cevap 84 - 10 = 74 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Toplam nokta sayısını ve konumlarını belirle.

2 (kesişim) + 4 (çemberde) + 3 (doğruda) = Toplam 9 nokta.

Kombinasyon hesabı için toplam eleman sayısına (n) ihtiyaç vardır.

2

Hiçbir koşul yokmuş gibi tüm üçlü kombinasyonları hesapla.

C(9,3) = (9×8×7)/(3×2×1) = 84.

Önce tüm olası üçlü seçimleri bulup, geçersiz olanları çıkarmak daha pratiktir.

3

Üçgen oluşturmayan (doğrusal) nokta gruarını tespit et.

Doğru üzerindeki noktalar: 2 kesişim + 3 harici = 5 nokta doğrusaldır.

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta birleşerek üçgen oluşturamaz.

4

Doğrusal noktalardan seçilen üçlüleri toplamdan çıkar.

C(5,3) = 10. Sonuç: 84 - 10 = 74.

Geçersiz durumlar (doğrusal üçlüler) tüm durumlardan çıkarılarak geçerli üçgen sayısı bulunur.

Key Concept

Doğrusal olmayan 3 nokta bir üçgen belirtir. n tane noktadan C(n,3) kadar üçlü seçilir; ancak doğrusal olan k tane nokta varsa C(k,3) kadarı üçgen oluşturmaz ve çıkarılır.

Hints

1

Toplam nokta sayısını hesaplarken kesişim noktalarını, çember üzerindeki noktaları ve doğru üzerindeki noktaları toplayın.

2

Önce tüm noktalardan seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonları hesaplayın (C(n,3)).

3

Bulduğunuz tüm kombinasyonlardan, aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) noktaların oluşturduğu kombinasyonları çıkarın.

Practice More

Benzer bir soruyu, birbirine paralel iki doğru üzerindeki noktalarla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Doğrudan geçerli üçgenleri toplayarak: (Çemberden 2 nokta + Doğrudan 1 nokta) + (Çemberden 1 nokta + Doğrudan 2 nokta) + (Çemberden 3 nokta). Not: Kesişim noktaları her iki kümeye de dahil edilebileceği için bu yöntem daha karmaşık olabilir; küme ayrımına dikkat edilmelidir.

Estimated Time:2m 0s

Question 160Question →

(x^a - \frac{1}{x})^8

ifadesinin açılımında sabit terim

28

olduğuna göre,

a

pozitif tam sayısı kaçtır?

1

2

3

4

6

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Verilen binom açılımında sabit terimi sağlayan a pozitif tam sayısı 3 olarak bulunur.

Binom açılımının genel terim formülü uygulandığında katsayının 28 olması için kombinasyonun alt indisinin 2 veya 6 olması gerekir. Sabit terim kuralı gereği x'in toplam üssü sıfır olmalıdır. a değerinin bir pozitif tam sayı olması şartını sadece r=6 durumu sağlar ve bu durumda a=3 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Genel terim formülünü yazalım.

T_{r+1} = \binom{8}{r} \cdot (x^a)^{8-r} \cdot (-\frac{1}{x})^r = \binom{8}{r} \cdot (-1)^r \cdot x^{a(8-r)-r}

Binom açılımında herhangi bir terimi bulmak için genel terim formülü kullanılır.

2

Sabit terimin katsayısını kullanarak r değerini belirleyelim.

\binom{8}{r} \cdot (-1)^r = 28 \Rightarrow r = 2

veya

r = 6

(r çift olmalıdır).

Sabit terimin katsayısı 28 olarak verildiği için kombinasyon değerinin bu sayıya eşit olması ve işaretin pozitif kalması gerekir.

3

Sabit terim için x'in üssünü sıfıra eşitleyen denklemi kuralım.

a(8-r) - r = 0

Bir terimin sabit terim olabilmesi için değişkenin üssü sıfıra eşit olmalıdır.

4

Bulunan r değerlerini yerine yazarak a'yı bulalım.

r=6

için

a(8-6) - 6 = 0 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3

. (

r=2

için

a=1/3

tam sayı değildir).

Soruda a'nın pozitif bir tam sayı olduğu belirtilmiştir, bu nedenle sadece r=6 durumu şartı sağlar.

Key Concept

Binom Açılımında Sabit Terim

Hints

1

Sabit terimi bulmak için x'in üssünü sıfır yapmanız gerektiğini hatırlayın.

2

8'in hangi r'li kombinasyonunun 28 ettiğini belirleyerek r değerlerini bulun.

3

Kombinasyon simetrisinden r=2 veya r=6 olabilir; ancak r=6 değeri a'yı bir tam sayı yapar.

Practice More

Benzer bir soruyu katsayılar toplamı üzerinden çözerek n değerini bulma pratiği yapabilirsiniz.

Alternative Method

Terimleri tek tek yazmak yerine, genel terim ifadesinde katsayıyı veren kombinasyon değerlerini deneyerek a'nın tam sayı çıkıp çıkmadığı kontrol edilebilir.

Estimated Time:1m 30s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes