Bir araştırmacı, büyüklükleri birbirinden oldukça farklı olan (N_1 \neq N_2 \neq N_3 \neq … — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, büyüklükleri birbirinden oldukça farklı olan ( $N_1 \neq N_2 \neq N_3 \neq N_4$ ) $L=4$ tabakadan oluşan bir kitle üzerinde tabakalı rastgele örnekleme uygulayarak toplam $n=120$ birimlik bir örneklem seçecektir. Kitleye ilişkin ön bilgilere göre, tabaka içi varyansların ( $S_h^2$ ) tüm tabakalarda birbirine yaklaşık olarak eşit olduğu bilinmektedir. SKD (Sonlu Kitle Düzeltme) çarpanının etkisi ihmal edilebilir düzeydedir.

Araştırmacının temel amacı kitle ortalamasını tahmin etmekten ziyade, **her bir tabakanın kendi ortalamasını ( $\bar{Y}_h$ ) aynı kesinlik derecesiyle (yaklaşık olarak eşit varyansla)** tahmin etmektir.

Buna göre, araştırmacının kullanması gereken örneklem dağıtım yöntemi ve bu yöntemin kitle ortalamasının ( $\bar{Y}$ ) tahmin varyansı üzerindeki etkisi aşağıdakilerin hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Her tabakadan $n_h = 30$ birim seçilerek eşit dağıtım uygulanmalıdır; ancak bu tasarımda kitle ortalamasının tahmin varyansı, orantılı dağıtıma kıyasla daha yüksek olacaktır.Answer
B
$n_h = n \cdot W_h$ formülü ile orantılı dağıtım uygulanmalıdır; çünkü tabaka büyüklükleri birbirinden farklı olduğunda tabaka ortalamalarının varyansları yalnızca bu şekilde birbirine eşitlenebilir.
C
Her tabakadan $n_h = 30$ birim seçilerek eşit dağıtım uygulanmalıdır; ancak bu durumda kitle ortalaması tahmin edilirken tabaka ağırlıkları kullanılamayacağı için tahminleyici yansızlığını kaybeder.
D
Örneklem hacmi Neyman dağıtımı ile belirlenmelidir; çünkü tabaka büyüklükleri arasındaki aşırı farklar ancak bu yöntemle dengelenerek tabakalar arası heterojenlik kuralı sağlanabilir.

Answer

Araştırmacının her tabaka ortalamasını eşit kesinlikte tahmin edebilmesi için eşit dağıtım uygulaması (her tabakadan 30 birim seçmesi) gerekir; ancak bu durum kitle ortalamasının tahmin varyansını artırır.

Tabaka içi varyanslar (

S_h^2

) eşitken, tabaka ortalamalarının varyanslarının (

V(\bar{y}_h) \approx S_h^2 / n_h

) eşit olması için her tabakadan çekilen birim sayısının (

n_h

) birbirine eşit olması gerekir. Bu nedenle

n_h = 120/4 = 30

olacak şekilde eşit dağıtım uygulanmalıdır. Ancak

N_h

değerleri (ve dolayısıyla

W_h

ağırlıkları) farklı olduğu için kitle ortalamasını tahmin etmede orantılı dağıtım daha küçük varyans verir; eşit dağıtım tercih edildiğinde araştırmacı kitle ortalamasının varyansında orantılı dağıtıma göre bir artış yaşar.

Step-by-Step Solution

Tabaka ortalamasının varyans formülünü analiz et.

V(\bar{y}_h) \approx \frac{S_h^2}{n_h}

formülü elde edilir.

Her tabakanın ortalamasının aynı kesinlik derecesiyle (eşit varyansla) tahmin edilmesi hedeflenmektedir.

Tabaka varyanslarının eşitliğinden hareketle

n_h

değerlerini belirle.

S_h^2

değerleri tüm tabakalarda eşit olduğundan,

V(\bar{y}_h)

değerlerinin eşit olması için

n_h

değerlerinin de eşit olması gerektiği bulunur (

n_h = 120 / 4 = 30

Varyansların eşitlenmesi için tek çözüm, eşit örneklem büyüklükleri (eşit dağıtım) kullanmaktır.

Eşit dağıtımın kitle ortalamasının varyansına olan etkisini değerlendir.

Tabaka büyüklükleri (

N_h

) birbirinden farklı olduğu için eşit dağıtım kullanıldığında kitle ortalamasının tahmin varyansı (

V(\bar{y}_{st})

), orantılı dağıtıma kıyasla daha büyük çıkacaktır.

Tabaka varyansları eşitken kitle ortalamasının varyansını minimize eden asıl yöntem orantılı dağıtımdır.

Key Concept

Eşit Dağıtım (Equal Allocation) Özellikleri ve Etkinlik Kıyaslaması

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic