Examkin

Question

Difficulty: Very hardDeğişken Dönüşümleri ve Jakobiyen

Bir bölgedeki iki farklı yatırım aracının yıllık getiri oranları (yüzde cinsinden ölçeklendirilmiş), sırasıyla XX ve YY rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

fX,Y(x,y)={24xy,x>0, y>0, x+y≤10,dig˘er durumlardaf_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x > 0, \ y > 0, \ x+y \le 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Yatırım uzmanları, bu iki yatırımın toplam getirisini U=X+YU = X + Y ve XX yatırımının toplam getiri içindeki payını V=XX+YV = \frac{X}{X+Y} yeni rastgele değişkenleri ile analiz etmektedir.

Buna göre, XX yatırımının toplam getiri içindeki payını ifade eden VV rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu fV(v)f_V(v) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    fV(v)=8v(1−v),0<v<1f_V(v) = 8v(1-v), \quad 0 < v < 1
  2. B
    fV(v)=4v3,0<v<1f_V(v) = 4v^3, \quad 0 < v < 1
  3. fV(v)=6v(1−v),0<v<1f_V(v) = 6v(1-v), \quad 0 < v < 1Answer
  4. D
    fV(v)=12v(1−v),0<v<1f_V(v) = 12v(1-v), \quad 0 < v < 1
  5. E
    fV(v)=6v5(1−v),0<v<1f_V(v) = 6v^5(1-v), \quad 0 < v < 1

Answer

V değişkeninin doğru marjinal yoğunluk fonksiyonu fV(v)=6v(1−v), 0<v<1f_V(v) = 6v(1-v), \ 0 < v < 1 şeklindedir.
V'nin marjinal yoğunluk fonksiyonu, U ve V'nin ortak yoğunluk fonksiyonunun U'nun tanım aralığı üzerinden integre edilmesiyle bulunur. X=UV ve Y=U(1-V) dönüşümünün Jakobiyen mutlak değeri |J|=u'dur. Ortak yoğunluk f(u,v) = 24 * (uv) * (u(1-v)) * u = 24u^3v(1-v) olarak hesaplanır. U değişkeni 0 ile 1 aralığında tanımlı olduğundan, f_V(v) = ∫(0'dan 1'e) 24u^3v(1-v) du = 6v(1-v) formülü ile doğru sonuç elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ters dönüşüm fonksiyonlarının (xx ve yy'nin uu ve vv cinsinden) bulunması.
U=X+YU = X + Y ve V=XX+YV = \frac{X}{X+Y} eşitliklerinden X=UVX = UV ve Y=U(1−V)Y = U(1-V) elde edilir.
Jakobiyen determinantını hesaplayabilmek ve ortak yoğunluk fonksiyonunda değişken değiştirebilmek için gereklidir.
2
Jakobiyen matrisinin ve determinantının mutlak değerinin (∣J∣|J|) hesaplanması.
J=det⁡(∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v)=det⁡(vu1−v−u)=−uv−u(1−v)=−uJ = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 1-v & -u \end{pmatrix} = -uv - u(1-v) = -u bulunur. u=x+y>0u = x+y > 0 olduğundan ∣J∣=u|J| = u olur.
Dönüşüm sonrasında alan elementlerinin (olasılık kütlesinin) nasıl ölçeklendiğini belirlemek için Jakobiyen çarpanı zorunludur.
3
UU ve VV'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (fU,V(u,v)f_{U,V}(u,v)) ve yeni tanım aralığının bulunması.
fU,V(u,v)=fX,Y(uv,u(1−v))⋅∣J∣=24(uv)(u(1−v))⋅u=24u3v(1−v)f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv, u(1-v)) \cdot |J| = 24(uv)(u(1-v)) \cdot u = 24u^3 v(1-v) elde edilir. Sınırlar x+y≤1x+y \le 1 ve x,y>0x,y>0 koşullarından 0<u≤10 < u \le 1 ve 0<v<10 < v < 1 olarak haritalanır.
Marjinal yoğunluğu bulmak için öncelikle yeni değişkenlerin ortak dağılımına ihtiyaç vardır.
4
VV'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun (fV(v)f_V(v)) elde edilmesi için uu üzerinden integral alınması.
fV(v)=∫0124u3v(1−v)du=24v(1−v)[u44]01=6v(1−v)f_V(v) = \int_{0}^{1} 24u^3 v(1-v) du = 24v(1-v) \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = 6v(1-v) bulunur.
Sadece VV değişkeninin dağılımını elde etmek için, ortak dağılım fonksiyonu diğer değişkenin (uu) tüm tanım aralığı üzerinden integre edilmelidir.

Key Concept

Değişken Dönüşümleri ve Jakobiyen
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Dönüşümleri ve Jakobiyen