Sürekli X ve Y bağımsız rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y)… — KPSS İstatistik

Sürekli $X$ ve $Y$ bağımsız rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y) = e^{-(x+y)}$ ( $x > 0, y > 0$ ) olarak verilmiştir. $U = 2X$ ve $V = 3Y$ şeklinde bir değişken dönüşümü tanımlandığında, $(U, V)$ rastgele değişken çiftinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$g(u,v) = \frac{1}{6} e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad u > 0, v > 0$ Answer
B
$g(u,v) = e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad u > 0, v > 0$
C
$g(u,v) = 6 e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad u > 0, v > 0$
D
$g(u,v) = \frac{1}{6} e^{-(u+v)}, \quad u > 0, v > 0$
E
$g(u,v) = \frac{1}{6} e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad 0 < u < v$

Answer

g(u,v) = \frac{1}{6} e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad u > 0, v > 0

ifadesidir.

Doğru cevapta,

x

yerine

u/2

y

yerine

v/3

yazılmış ve fonksiyon Jakobiyen determinantı olan

1/6

ile çarpılmıştır. Ayrıca

x>0

y>0

şartlarından gelen

u>0

v>0

sınırları doğru belirtilmiştir.

Step-by-Step Solution

Ters dönüşüm denklemlerini oluşturun.

x = \frac{u}{2}

y = \frac{v}{3}

Orijinal yoğunluk fonksiyonunda yerine koyabilmek için

x

y

değişkenlerini

u

v

cinsinden ifade etmek gerekir.

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v \\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}

Çok değişkenli dönüşümlerde, değişken değiştirme formülü gereği

|J|

çarpanı gereklidir.

Dönüşüm formülünü uygulayın ve yeni PDF'i bulun.

g(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})} \cdot \frac{1}{6}

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun yeni değişkenlere göre ölçeklenmiş halini bulmak için standart formül kullanılır.

Yeni değişkenlerin tanım aralığını (sınırlarını) belirleyin.

u > 0

v > 0

Orijinal sınırlardan (

x>0, y>0

u/2 > 0 \Rightarrow u > 0

v/3 > 0 \Rightarrow v > 0

elde edilir.

Key Concept

İki boyutlu sürekli rastgele değişkenlerde lineer dönüşüm ve Jakobiyen yöntemi.

Practice More

Değişkenlerin toplamı olan Z = X + Y gibi bir değişkenin marjinal dağılımını bulmak için bu ortak yoğunluk üzerinden integral almayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics