Examkin

Question

Difficulty: EasyDeğişken Dönüşümleri ve Jakobiyen

XX ve YY rastgele değişkenleri (0,1)(0,1) aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu durumda U=2XU = 2X ve V=3YV = 3Y olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu g(u,v)g(u,v) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. g(u,v)=16,0<u<2, 0<v<3g(u,v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3Answer
  2. B
    g(u,v)=1,0<u<2, 0<v<3g(u,v) = 1, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3
  3. C
    g(u,v)=6,0<u<2, 0<v<3g(u,v) = 6, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3
  4. D
    g(u,v)=16,0<u<1, 0<v<1g(u,v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 1, \ 0 < v < 1
  5. E
    g(u,v)=1,0<u<1, 0<v<1g(u,v) = 1, \quad 0 < u < 1, \ 0 < v < 1

Answer

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu 1/61/6 olup, tanım aralığı 0<u<20 < u < 2 ve 0<v<30 < v < 3 şeklindedir.
Dönüşüm kuralı uygulandığında, Jakobiyen determinantı 1/61/6 olarak hesaplanır ve UU ile VV değişkenlerinin sınırları sırasıyla (0,2)(0,2) ve (0,3)(0,3) aralıklarına genişler. Bu iki durumun birleşimi doğru sonucu verir.

Step-by-Step Solution

1
Orijinal ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleme
f(x,y)=1,0<x<1, 0<y<1f(x,y) = 1, \quad 0 < x < 1, \ 0 < y < 1
XX ve YY bağımsız ve (0,1)(0,1) aralığında düzgün dağılımlı olduğu için marjinal yoğunluklarının çarpımı ortak yoğunluğu verir.
2
Ters dönüşüm fonksiyonlarını bulma
x=u2x = \frac{u}{2} ve y=v3y = \frac{v}{3}
U=2XU = 2X ve V=3YV = 3Y denklemlerinden xx ve yy değişkenlerini yalnız bırakırız.
3
Jakobiyen determinantını hesaplama
J=det⁡(∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v)=det⁡(1/2001/3)=16J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}
Değişken dönüşümü formülünde yoğunluk fonksiyonunun ölçeklenmesi için Jakobiyen determinantına ihtiyaç vardır.
4
Yeni sınırları belirleme
0<u2<1⇒0<u<20 < \frac{u}{2} < 1 \Rightarrow 0 < u < 2 ve 0<v3<1⇒0<v<30 < \frac{v}{3} < 1 \Rightarrow 0 < v < 3
xx ve yy değişkenlerinin orijinal sınırlarını uu ve vv cinsinden ifade ederiz.
5
Yeni yoğunluk fonksiyonunu yazma
g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))⋅∣J∣=1⋅16=16g(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}
Dönüşüm kuralı gereği orijinal fonksiyon ile Jakobiyen'in mutlak değeri çarpılır.

Key Concept

İki değişkenli bir dönüşümde yeni yoğunluk fonksiyonu, orijinal yoğunluk fonksiyonunun ters dönüşümlerle ifadesinin Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmasıyla elde edilir.

Hints

1
Yeni yoğunluk fonksiyonunu bulmak için g(u,v)=f(x,y)⋅∣J∣g(u,v) = f(x,y) \cdot |J| formülünü kullanmalısın.
2
Jakobiyen determinantını hesaplarken ters dönüşüm fonksiyonlarının (x=u/2,y=v/3x=u/2, y=v/3) türevlerini almalısın.
3
U=2XU=2X olduğu için XX değişkeni 00 ile 11 arasındayken UU değişkeni 00 ile 22 arasında değer alacaktır.

Practice More

Daha karmaşık olan U=X+YU=X+Y ve V=X−YV=X-Y gibi toplam/fark dönüşümlerini inceleyerek Jakobiyen matrisinin nasıl kurulduğunu pekiştirebilirsin.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Değişken Dönüşümleri ve Jakobiyen