Sürekli X ve Y rastgele değişkenleri, (0,1) aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Yeni rastgele değişkenler U ve V, U = XY V = \frac{Y}{X} olarak tanımlanıyor. Buna göre, U ve V'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu g(u,v) ve tanımlı olduğu bölge aşağıdakilerden hangisidir?

$g(u,v) = \frac{1}{2v}, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)$

Sürekli X ve Y rastgele değişkenleri, (0,1) aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılı… — KPSS İstatistik

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri, $(0,1)$ aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir.

Yeni rastgele değişkenler

U

V

U = XY

V = \frac{Y}{X}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre, $U$ ve $V$ 'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ ve tanımlı olduğu bölge aşağıdakilerden hangisidir?

$g(u,v) = \frac{1}{2v}, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)$ Answer
B
$g(u,v) = 2v, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)$
C
$g(u,v) = 1, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)$
D
$g(u,v) = \frac{1}{2v}, \quad 0 < u < 1, \ v > 0$
E
$g(u,v) = 2v, \quad 0 < u < 1, \ v > 0$

Answer

Dönüşüm sonucunda ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

g(u,v) = \frac{1}{2v}

ve tanımlı olduğu bölge

v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)

olarak bulunur.

Verilen iki rastgele değişkenin

(0,1)

aralığında düzgün dağılması ortak olasılık fonksiyonunu

1

yapar. Ters dönüşümlerle Jakobiyen determinantı (

|J|

) hesaplandığında

\frac{1}{2v}

elde edilir. Yeni bölgesel sınırlar belirlenirken, eski değişkenlerin

(0,1)

arasındaki kısıtlamaları yeni değişkenlerin üzerinde eşzamanlı olarak sağlanmalıdır. Bu sebeple hem

u < v

hem de

u < 1/v

şartları birleşerek

0 < u < \min(v, \frac{1}{v})

ortak destek bölgesini oluşturur.

Step-by-Step Solution

X

Y

değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirlemek.

f(x,y) = 1

0 < x < 1

0 < y < 1

Değişkenler

(0,1)

aralığında bağımsız düzgün (uniform) dağıldığı için, ortak yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunlukların (

f(x)=1, f(y)=1

) çarpımına eşittir.

U

V

dönüşümlerinden

x

y

'yi çekerek ters dönüşümleri bulmak.

x = \sqrt{\frac{u}{v}}

y = \sqrt{uv}

Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplayabilmek ve fonksiyon sınırlarını yeni değişkenlere adapte edebilmek için

x

y

'nin

u

v

cinsinden ifade edilmesi zorunludur.

Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplamak.

|J| = \left| \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} \right| = \left| \left(\frac{1}{2\sqrt{uv}}\right)\left(\frac{u}{2\sqrt{uv}}\right) - \left(-\frac{u}{2v\sqrt{uv}}\right)\left(\frac{v}{2\sqrt{uv}}\right) \right| = \left| \frac{1}{4v} + \frac{1}{4v} \right| = \frac{1}{2v}

Çok değişkenli olasılık dönüşüm teoremi gereği, yeni uzaydaki alan ölçeklemesini telafi etmek için bu çarpan gereklidir.

Dönüşüm formülünü uygulayarak yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

g(u,v)

) elde etmek.

g(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{2v} = \frac{1}{2v}

Orijinal fonksiyon

1

'e eşit olduğu için, yeni fonksiyon doğrudan Jakobiyen determinantının mutlak değerine eşittir.

U

V

için sınırları (tanımlı olduğu bölgeyi) belirlemek.

0 < x < 1 \implies 0 < \sqrt{\frac{u}{v}} < 1 \implies u < v

0 < y < 1 \implies 0 < \sqrt{uv} < 1 \implies uv < 1 \implies u < \frac{1}{v}

Her ikisi de pozitif olduğundan

u > 0, v > 0

olmalıdır. Sonuç:

v > 0

için

0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)

Yeni değişkenler eski değişkenlerin eşitsizlik kurallarına tabi kalmak zorundadır. Ortak sağlanan kesişim bölgesi yeni değişkenlerin sınırlarını oluşturur.

Key Concept

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Dönüşüm ve Jakobiyen

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics