Examkin

Question

Difficulty: HardNeyman-Pearson Lemması

Bir XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;β)={β2xe−βx,x>00,dig˘er durumlardaf(x; \beta) = \begin{cases} \beta^2 x e^{-\beta x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen nn hacimli rastgele bir örneklem temel alınarak, H0:β=4H_0: \beta = 4 yokluk hipotezine karşı H1:β=2H_1: \beta = 2 alternatif hipotezi test edilmek isteniyor.

Buna göre, α\alpha anlamlılık düzeyinde Neyman-Pearson Lemması'na göre belirlenen en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: χv,α2\chi^2_{v, \alpha}, vv serbestlik dereceli ki-kare dağılımının üst α\alpha kritik değerini, yani P(χv2≥χv,α2)=αP(\chi^2_v \geq \chi^2_{v, \alpha}) = \alpha sağlayan değeri göstermektedir.)

  1. ∑i=1nXi≥χ4n,α28\sum_{i=1}^n X_i \geq \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{8}Answer
  2. B
    ∑i=1nXi≤χ4n,1−α28\sum_{i=1}^n X_i \leq \frac{\chi^2_{4n, 1-\alpha}}{8}
  3. C
    ∑i=1nXi≥χ4n,α24\sum_{i=1}^n X_i \geq \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{4}
  4. D
    ∏i=1nXi≥k\prod_{i=1}^n X_i \geq k
  5. E
    ∑i=1nXi≤χ2n,1−α28\sum_{i=1}^n X_i \leq \frac{\chi^2_{2n, 1-\alpha}}{8}

Answer

Ret bölgesi toplam gözlem değerlerinin ki-kare dağılımının üst kritik değerinin sekizde birinden büyük veya eşit olduğu bölgedir.
Neyman-Pearson oran testi kurgulandığında negatif üs nedeniyle eşitsizlik yön değiştirerek ∑Xi≥c\sum X_i \geq c halini alır. H0H_0 hipotezinde β=4\beta=4 alındığında toplam istatistiği Gamma(2n,4)Gamma(2n, 4) dağılır. Gamma dağılımlı bir değişkenin kendisini oran parametresinin 2 katı ile (burada 2×4=82 \times 4 = 8) çarpmak onu tam olarak 2×2n=4n2 \times 2n = 4n serbestlik dereceli bir ki-kare değişkenine dönüştürür. Bu yüzden ret bölgesi, ∑Xi\sum X_i istatistiğinin üst kritik değer olan χ4n,α2\chi^2_{4n, \alpha}'nın 8'e bölümünden büyük veya eşit olmasını gerektirir.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu ve olabilirlik oranını (Λ\Lambda) yazınız.
L(β)=β2n(∏xi)e−β∑xiL(\beta) = \beta^{2n} (\prod x_i) e^{-\beta \sum x_i}

Λ=L(4)L(2)=42n(∏xi)e−4∑xi22n(∏xi)e−2∑xi=22ne−2∑xi≤k\Lambda = \frac{L(4)}{L(2)} = \frac{4^{2n} (\prod x_i) e^{-4 \sum x_i}}{2^{2n} (\prod x_i) e^{-2 \sum x_i}} = 2^{2n} e^{-2 \sum x_i} \leq k
Neyman-Pearson Lemması, en güçlü testin ret bölgesinin L(H0)/L(H1)≤kL(H_0) / L(H_1) \leq k eşitsizliği ile bulunduğunu belirtir.
2
Eşitsizliği yeterli istatistik (∑Xi\sum X_i) yalnız kalacak şekilde düzenleyiniz.
e−2∑xi≤k22ne^{-2 \sum x_i} \leq \frac{k}{2^{2n}}

−2∑xi≤ln⁡(k22n)-2 \sum x_i \leq \ln\left(\frac{k}{2^{2n}}\right)

∑xi≥−12ln⁡(k22n)=c\sum x_i \geq -\frac{1}{2} \ln\left(\frac{k}{2^{2n}}\right) = c
Her iki tarafın doğal logaritmasını alıp negatif bir sayıya (-2) böldüğümüzde eşitsizliğin yönü (≤\leq iken ≥\geq olur) değişir.
3
Test istatistiğinin H0H_0 altındaki dağılımını bulunuz.
H0H_0 doğruyken (β=4\beta=4), Xi∼Gamma(α=2,β=4)X_i \sim Gamma(\alpha=2, \beta=4) olur.
Örneklem toplamı Y=∑i=1nXi∼Gamma(2n,4)Y = \sum_{i=1}^n X_i \sim Gamma(2n, 4) dağılımına sahiptir.
Bağımsız Gamma dağılımlı değişkenlerin toplamı, aynı ölçek parametresine (rate) sahipse şekil (shape) parametrelerinin toplamı ile yeni bir Gamma dağılımı oluşturur.
4
cc kritik değerini α\alpha anlamlılık düzeyine ve ki-kare dağılımına bağlı olarak elde ediniz.
Gamma'dan ki-kareye dönüşüm kuralına göre 2βY∼χ2αY22\beta Y \sim \chi^2_{2\alpha_Y} dir.
β=4\beta=4 ve αY=2n\alpha_Y=2n olduğundan, 2(4)Y=8Y∼χ4n22(4)Y = 8Y \sim \chi^2_{4n} olur.

P(Y≥c∣H0)=αP(Y \geq c | H_0) = \alpha
P(8Y≥8c)=αP(8Y \geq 8c) = \alpha
8c=χ4n,α2  ⟹  c=χ4n,α288c = \chi^2_{4n, \alpha} \implies c = \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{8}
Kritik değeri tabloda bulunan standart bir dağılım (ki-kare) cinsinden ifade etmek için dönüşüm kullanılır.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması uyarınca Olabilirlik Oranı ve Gamma-Ki-Kare Dönüşümü
Rate this question

Topics

Neyman-Pearson Lemması

More questions from this topic