Examkin

Question

Difficulty: HardNeyman-Pearson Lemması

Bir çevresel etki araştırmasında, bir su kaynağındaki belirli bir kirleticinin yoğunluk indeksi XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x;θ)={(θ+1)xθ,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} (\theta + 1)x^\theta, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu su kaynağının kirlilik durumu ile ilgili H0:θ=1H_0: \theta = 1 basit yokluk hipotezi, H1:θ=2H_1: \theta = 2 basit alternatif hipotezine karşı tek bir XX gözlemi kullanılarak test edilecektir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, α\alpha anlamlılık düzeyinde bu test için en güçlü (Most Powerful) testin ret bölgesi (kritik bölge) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    X≤αX \leq \sqrt{\alpha}
  2. B
    X≥1−αX \geq 1 - \alpha
  3. X≥1−αX \geq \sqrt{1 - \alpha}Answer
  4. D
    X≥1−α3X \geq \sqrt[3]{1 - \alpha}
  5. E
    X≥αX \geq \sqrt{\alpha}

Answer

En güçlü testin ret bölgesi X≥1−αX \geq \sqrt{1 - \alpha} şeklindedir.
Neyman-Pearson Lemması uyarınca olabilirlik oranı f0(x)f1(x)=23x≤k\frac{f_0(x)}{f_1(x)} = \frac{2}{3x} \leq k şeklinde oluşturulur. x>0x > 0 olduğu için bu eşitsizlik x≥cx \geq c şeklinde bir kritik bölge ifade eder. α\alpha anlamlılık düzeyi, H0H_0 altında bu bölgenin alanına eşittir: P(X≥c∣θ=1)=∫c12x dx=1−c2=αP(X \geq c \mid \theta=1) = \int_c^1 2x \, dx = 1 - c^2 = \alpha. Buradan c=1−αc = \sqrt{1 - \alpha} elde edilir ve en güçlü testin ret bölgesi X≥1−αX \geq \sqrt{1 - \alpha} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Neyman-Pearson Lemması'na göre olabilirlik oranını (Likelihood Ratio) oluştur.
L(H0)L(H1)≤k\frac{L(H_0)}{L(H_1)} \leq k eşitsizliği yazılır.
En güçlü (Most Powerful) testin kritik bölgesi bu eşitsizlikle tanımlanır.
2
Hipotezlerdeki parametre değerlerini olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine koyarak oranı hesapla.
H0:θ=1  ⟹  f0(x)=2xH_0: \theta = 1 \implies f_0(x) = 2x
H1:θ=2  ⟹  f1(x)=3x2H_1: \theta = 2 \implies f_1(x) = 3x^2
2x3x2=23x≤k\frac{2x}{3x^2} = \frac{2}{3x} \leq k
Olabilirlik oranını sadece gözlem (xx) değerine bağlı bir istatistik haline getirmek için.
3
Eşitsizliği xx yalnız kalacak şekilde düzenle ve ret bölgesinin yönünü belirle.
23x≤k  ⟹  x≥23k\frac{2}{3x} \leq k \implies x \geq \frac{2}{3k}. Bu değer bir cc sabitine eşitlendiğinde ret bölgesi X≥cX \geq c olur.
Ret bölgesini, test istatistiği olan XX üzerinden doğrudan ifade edebilmek için.
4
Anlamlılık düzeyi α\alpha'yı kullanarak cc kritik değerini hesaplamak için integral denklemini kur.
α=P(X≥c∣H0)=∫c12x dx\alpha = P(X \geq c \mid H_0) = \int_c^1 2x \, dx
I. Tip hata olasılığı (α\alpha), H0H_0 doğruyken test istatistiğinin ret bölgesine düşme olasılığıdır.
5
İntegrali hesapla ve cc'yi α\alpha cinsinden bul.
∫c12x dx=x2∣c1=1−c2=α  ⟹  c2=1−α  ⟹  c=1−α\int_c^1 2x \, dx = x^2 \Big|_c^1 = 1 - c^2 = \alpha \implies c^2 = 1 - \alpha \implies c = \sqrt{1 - \alpha}. Ret bölgesi: X≥1−αX \geq \sqrt{1 - \alpha}.
Kritik değeri tam ve analitik olarak ifade ederek testi tamamlamak için.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması ve Kritik Bölge Hesabı
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Neyman-Pearson Lemması

More questions from this topic