Hipotez Testleri Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir tarım uzmanı, yeni geliştirilen bir tohum türünün dekar başına ortalama veriminin ( $\mu$ ), standart tohumun bilinen ortalama veriminden ( $\mu_0 = 400$ kg) daha yüksek olduğunu iddia etmektedir. Uzman, bu iddiayı istatistiksel olarak $\alpha$ anlamlılık düzeyinde sınamak için bir hipotez testi kuracaktır.

Bu hipotez testi sürecindeki temel kavramlar ve ilişkiler dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Gerçekte standart tohum ile yeni tohum arasında verim farkı yokken (

H_0

doğruyken), örneklem verilerine dayanarak yeni tohumun daha verimli olduğuna karar verilmesi II. Tip hata olarak tanımlanır.

Test sonucunda elde edilen

p

-değeri, kurulan yokluk hipotezinin (

H_0

) gerçekte doğru olma olasılığını ifade eder ve karar verilirken bu olasılık

\alpha

ile karşılaştırılır.

Alternatif hipotez

H_1: \mu > 400

şeklinde kurulmalıdır; sabit bir anlamlılık düzeyinde örneklem hacmi büyütüldüğünde testin gücü (

1-\beta

) artar.

Testin gücünü (

1-\beta

) hesaplamak için, test istatistiğinin ret bölgesine düşme olasılığı alternatif hipotez (

H_1

) dağılımı yerine yokluk hipotezi (

H_0

) dağılımı altında belirlenir.

Uzman, doğru olan bir hipotezi yanlışlıkla reddetme riskini azaltmak için anlamlılık düzeyini (

\alpha

) küçülttüğünde, gerçekte var olan bir verim artışını gözden kaçırma olasılığı (

\beta

) da azalır.

Show answer & explanation

Answer: Alternatif hipotez $H_1: \mu > 400$ şeklinde kurulmalıdır; sabit bir anlamlılık düzeyinde örneklem hacmi büyütüldüğünde testin gücü ( $1-\beta$ ) artar.

Answer

Alternatif hipotez

H_1: \mu > 400

şeklinde kurulmalıdır ve örneklem hacmi büyütüldüğünde testin gücü artar.

Seçilen doğru ifadede alternatif hipotezin yönü (daha yüksek verim iddiasından dolayı

\mu > 400

şeklinde) ve örneklem hacmi ile testin gücü arasındaki ilişki kusursuz bir biçimde açıklanmıştır. Örneklem hacmi arttıkça varyans daralır ve gerçekte var olan farkı tespit edebilme gücü (

1-\beta

) doğrudan yükselir.

Step-by-Step Solution

1

Araştırma probleminin doğasına göre yokluk ve alternatif hipotezleri oluşturmak.

Araştırmacının iddiası 'daha yüksek' verim olduğundan yönlü (sağ kuyruk) bir test yapılmalıdır:

H_0: \mu \leq 400

(veya

\mu = 400

) ve

H_1: \mu > 400

.

Alternatif hipotez her zaman araştırmacının kanıtlamaya çalıştığı asıl iddiayı temsil eder.

2

Hipotez testlerindeki hata türlerini ve aralarındaki ilişkiyi incelemek.

I. Tip hata (

\alpha

) ile II. Tip hata (

\beta

) arasında ters yönlü bir ilişki vardır. Sabit bir örneklem için

\alpha

azaldıkça

\beta

artar.

Red bölgesinin daraltılması I. Tip hatayı azaltırken, gerçeğin alternatif hipotez olduğu durumda test istatistiğinin red bölgesine düşmeme ihtimalini artırır.

3

Örneklem hacminin testin gücüne etkisini değerlendirmek.

Örneklem hacmi (

n

) arttıkça standart hata azalır, örneklem dağılımları daha sivri hale gelir ve II. Tip hata (

\beta

) azalır. Dolayısıyla testin gücü (

1-\beta

) artar.

Daha büyük örneklem, kitle parametresi hakkında daha kesin bilgi sağlar ve küçük farkları bile tespit etmeyi kolaylaştırır.

Key Concept

Hipotez Testlerinde Hata Tipleri, P-Değeri ve Testin Gücü

Estimated Time:1m 30s

Question 2Question →

$X_1, X_2$ rassal değişkenleri $U(0, \theta)$ sürekli düzgün dağılımından alınmış bir örneklemi göstersin. $H_0: \theta = 2$ yokluk hipotezi, $H_1: \theta = 3$ alternatif hipotezine karşı test edilmek istenmektedir.

Bu test için test istatistiği olarak $Y = \max(X_1, X_2)$ sıra istatistiği kullanılmış ve red bölgesi (kritik bölge) $Y > c$ biçiminde tanımlanmıştır.

Testin anlamlılık düzeyi (I. tip hata olasılığı) $\alpha = 0,25$ olduğuna göre, bu testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{1}{9}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{3}$

Answer

Doğru cevap 2/3'tür. Önce Y istatistiğinin dağılımı bulunarak alfa yardımıyla kritik bölge sınırı hesaplanır, ardından alternatif hipotez dağılımı kullanılarak testin gücü bulunur.

Testin gücünü bulabilmek için öncelikle birinci tip hata olasılığı (alfa = 0,25) kullanılarak kritik c değeri bulunmalıdır. Maksimum istatistiği olan Y'nin kümülatif dağılım fonksiyonu

F_Y(y) = y^2/\theta^2

biçimindedir. H0 hipotezinde

\theta=2

olduğundan

\alpha = 1 - c^2/4 = 0,25

eşitliğinden

c^2=3

elde edilir. Testin gücü ise, alternatif hipotez olan

\theta=3

altında test istatistiğinin red bölgesine (Y > c) düşme olasılığıdır. Bu olasılık

1 - F_Y(\sqrt{3} \mid \theta=3) = 1 - 3/9 = 2/3

olarak doğru şekilde bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Y = \max(X_1, X_2)

sıra istatistiğinin kümülatif dağılım fonksiyonunu (CDF) bulun.

F_Y(y) = P(\max(X_1, X_2) \leq y) = P(X_1 \leq y)P(X_2 \leq y) = \left(\frac{y}{\theta}\right)^2 = \frac{y^2}{\theta^2}

Red bölgesi Y istatistiği üzerinden tanımlandığı için, kritik değeri (c) bulabilmek amacıyla Y'nin dağılım fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

H_0: \theta = 2

hipotezi ve

\alpha = 0,25

kullanılarak

c

kritik değerini hesaplayın.

\alpha = P(Y > c \mid \theta = 2) = 1 - F_Y(c \mid \theta = 2) = 1 - \frac{c^2}{4}

. Buradan

0,25 = 1 - \frac{c^2}{4} \implies \frac{c^2}{4} = 0,75 \implies c^2 = 3 \implies c = \sqrt{3}

bulunur.

Anlamlılık düzeyi (alfa), yokluk hipotezi doğruyken test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır.

3

Bulunan

c = \sqrt{3}

değerini kullanarak

H_1: \theta = 3

hipotezi altında testin gücünü (

1-\beta

) hesaplayın.

\text{Güç} = P(Y > \sqrt{3} \mid \theta = 3) = 1 - F_Y(\sqrt{3} \mid \theta = 3) = 1 - \frac{(\sqrt{3})^2}{3^2} = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Testin gücü, alternatif hipotez doğruyken test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır (doğru olan H1 hipotezini kabul etme / H0'ı doğru şekilde reddetme).

Key Concept

Sıra İstatistikleri ile Hipotez Testi ve Güç Fonksiyonu

Estimated Time:2m 30s

Question 3Question →

Bir $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x \ge \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen tek bir $X$ gözlemi kullanılarak $H_0: \theta = 0$ yokluk hipotezi, $H_1: \theta > 0$ alternatif hipotezine karşı $\alpha$ anlamlılık düzeyinde test edilmektedir. Belirlenen red bölgesi $X > c$ şeklindedir.

Buna göre, bu testin güç fonksiyonu olan $K(\theta)$ aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\begin{cases} \alpha e^{\theta}, & 0 < \theta \le -\ln \alpha \\ 1, & \theta > -\ln \alpha \end{cases}

\begin{cases} \alpha e^{-\theta}, & 0 < \theta \le -\ln \alpha \\ 1, & \theta > -\ln \alpha \end{cases}

\alpha e^{\theta} \quad (\text{tüm } \theta > 0 \text{ için})

\begin{cases} 1 - \alpha e^{\theta}, & 0 < \theta \le -\ln \alpha \\ 0, & \theta > -\ln \alpha \end{cases}

\begin{cases} e^{-\alpha\theta}, & 0 < \theta \le -\ln \alpha \\ 1, & \theta > -\ln \alpha \end{cases}

Show answer & explanation

Answer: $\begin{cases} \alpha e^{\theta}, & 0 < \theta \le -\ln \alpha \\ 1, & \theta > -\ln \alpha \end{cases}$

Answer

Güç fonksiyonu,

0 < \theta \le -\ln \alpha

aralığında

\alpha e^{\theta}

,

\theta > -\ln \alpha

aralığında ise

1

olan parçalı fonksiyondur.

Doğru cevap,

0 < \theta \le -\ln \alpha

aralığında

\alpha e^{\theta}

olan, ancak

\theta

kritik değer olan

-\ln \alpha

'yı geçtiğinde dağılımın tamamı red bölgesinin içine girdiği için

1

'e ulaşan parçalı fonksiyondur. Parametrenin destek aralığını (support) belirlediği dağılımlarda (shifted exponential gibi), olasılık fonksiyonu parametre kritik bölge sınırını aştığında kesintiye uğrar ve tam değere (

1

) ulaşır.

Step-by-Step Solution

1

Anlamlılık düzeyi (

\alpha

) kullanılarak red bölgesinin sınır değeri olan

c

'yi hesaplayınız.

H_0

altında

\theta=0

'dır ve

f(x; 0) = e^{-x}

(

x \ge 0

) olur.

P(X > c \mid \theta=0) = \alpha \implies \int_{c}^{\infty} e^{-x} dx = e^{-c} = \alpha \implies c = -\ln \alpha

elde edilir.

Kritik bölge sınırı her zaman yokluk hipotezi (

H_0

) doğru varsayılarak Tip I hata olasılığından (

\alpha

) bulunur.

2

Alternatif hipotez (

H_1

) altında güç fonksiyonunu,

K(\theta) = P(X > c \mid \theta)

tanımından hareketle oluşturunuz.

H_1

altında dağılımın tanım aralığı

x \ge \theta

'dır. Dolayısıyla

P(X > c)

ihtimali,

\theta

'nın

c

'den küçük veya büyük olmasına göre iki farklı durum gerektirir.

Dağılımın başlangıç noktası parametreye (

\theta

) bağlı olarak kaymaktadır. Bu durum integralin sınırlarını doğrudan etkiler.

3

0 < \theta \le c

(yani

0 < \theta \le -\ln \alpha

) durumu için gücü hesaplayınız.

Bu aralıkta

c \ge \theta

olduğundan integral

c

'den başlar:

K(\theta) = \int_{c}^{\infty} e^{-(x-\theta)} dx = e^{\theta} \int_{c}^{\infty} e^{-x} dx = e^{\theta} \cdot e^{-c} = e^{\theta} \cdot \alpha

.

Kritik bölge, dağılımın başlangıç noktasının sağında kalmaktadır.

4

\theta > c

(yani

\theta > -\ln \alpha

) durumu için gücü hesaplayınız.

Bu durumda rassal değişkenin alabileceği en küçük değer (

\theta

), zaten

c

'den büyüktür (

X \ge \theta > c

). Gözlemlenen tüm değerler kesinlikle red bölgesine düşeceği için

K(\theta) = 1

olur.

Olay kesin olay haline gelmiş, H0'ı reddetmeme ihtimali sıfırlanmıştır.

Key Concept

Dağılım desteğinin parametreye bağlı olduğu durumlarda testin gücünün hesaplanması ve kritik bölgeyle olan sınır ilişkisi.

Estimated Time:2m 30s

Question 4Question →

Bir çağrı merkezinde müşteri taleplerinin çözülme süreci incelenmektedir. Bir talebin ilk görüşmede çözülme olasılığı $p$ olmak üzere, $n$ farklı temsilcinin ilk başarılı çözümü elde edene kadar yaptıkları toplam görüşme sayıları birbirinden bağımsız $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele değişkenleri ile modellenmiştir. Her bir $X_i$ değişkeninin olasılık fonksiyonu şu şekildedir:

P(X_i = x) = p(1-p)^{x-1}, \quad x=1, 2, \dots

Bu dağılımdan çekilen örneklem kullanılarak $H_0: p \leq p_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: p > p_0$ alternatif hipotezini $\alpha$ anlamlılık düzeyinde test etmek için oluşturulacak Düzgün En Güçlü (UMP) testin kritik (red) bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? ( $k$ , $\alpha$ anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabiti ifade etmektedir.)

\sum_{i=1}^n X_i \leq k

\sum_{i=1}^n X_i \geq k

\left| \sum_{i=1}^n X_i - \frac{n}{p_0} \right| \geq k

\prod_{i=1}^n X_i \geq k

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \geq k

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i \leq k$

Answer

Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi

\sum_{i=1}^n X_i \leq k

eşitsizliği ile tanımlanan bölgedir.

Verilen Geometrik dağılım probleminin olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde,

p_2 > p_1

için

L(p_2)/L(p_1)

oranı yeterli istatistik olan

\sum X_i

'nin monoton azalan bir fonksiyonudur (çünkü

(1-p_2)/(1-p_1) < 1

). Karlin-Rubin Teoremi uyarınca,

H_1: p > p_0

şeklindeki tek yönlü alternatif hipotez test edilirken, red bölgesi olabilirlik oranının büyük olduğu değerlerde, yani bu soru özelinde

\sum X_i

istatistiğinin küçük olduğu değerlerde aranmalıdır. Bu yüzden UMP testinin red bölgesi

\sum X_i \leq k

biçimindedir. Sezgisel olarak da; başarı olasılığı (

p

) ne kadar yüksekse, ilk başarıya ulaşmak için gereken ortalama deneme sayısı o kadar düşük olacaktır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemin ortak olasılık (olabilirlik) fonksiyonunu

L(p)

oluştur.

L(p) = \prod_{i=1}^n p(1-p)^{X_i - 1} = p^n (1-p)^{\sum X_i - n}

elde edilir.

Neyman-Pearson ve Karlin-Rubin teoremlerini uygulayabilmek için olabilirlik fonksiyonunun yapısının bilinmesi gerekir.

2

p_2 > p_1

koşulunu sağlayan iki parametre değeri için olabilirlik oranını (Likelihood Ratio) hesapla.

\frac{L(p_2)}{L(p_1)} = \frac{p_2^n (1-p_2)^{\sum X_i - n}}{p_1^n (1-p_1)^{\sum X_i - n}} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^n \left(\frac{1-p_2}{1-p_1}\right)^{\sum X_i - n}

Dağılım ailesinin Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahip olup olmadığını ve bu monotonluğun yönünü belirlemek hedeflenir.

3

Olabilirlik oranının yeterli istatistik

T = \sum X_i

açısından monotonluk yönünü analiz et.

p_2 > p_1

olduğundan

1 - p_2 < 1 - p_1

olur. Dolayısıyla

0 < \frac{1-p_2}{1-p_1} < 1

'dir. Taban 1'den küçük olduğu için, bu ifade

T = \sum X_i

arttıkça kesin olarak azalır.

Red bölgesinin eşitsizlik yönü, olabilirlik oranının istatistiğe göre artan mı yoksa azalan mı olduğuna bağlıdır.

4

Karlin-Rubin Teoremini uygulayarak

H_1: p > p_0

için red bölgesini belirle.

Oran,

T = \sum X_i

'ye göre azalan (monotonically decreasing) olduğundan, büyük

p

değerleri lehine kanıt,

T

'nin küçük değerler almasıdır. Bu nedenle UMP testinin red bölgesi

\sum X_i \leq k

olur.

Karlin-Rubin teoremine göre UMP testi, olabilirlik oranının yeterince büyük olduğu durumlarda

H_0

'ı reddeder. Oran

T

'ye göre azalan ise, oranın büyük olması

T

'nin küçük olması demektir.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Karlin-Rubin Teoremi

Estimated Time:2m 30s

Question 5Question →

Bir elektronik parça üretim hattında, üretilen parçaların kusurlu olma olasılığı $p$ 'dir. Kusurlu parçalar $X=1$ , sağlam parçalar $X=0$ ile gösterilmek üzere, $n$ hacimli rastgele bir örneklem alınıyor ( $X_i \sim \text{Bernoulli}(p)$ ).

Kalite kontrol mühendisi, üretim sürecinde hata oranının artıp artmadığını kontrol etmek için;
$H_0: p = p_0$
$H_1: p = p_1$ (Burada $p_1 > p_0$ 'dır)

basit hipotezlerini test etmek istiyor.

Neyman-Pearson Lemması kullanılarak $\alpha$ anlamlılık düzeyinde oluşturulacak en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölge), örneklem ortalaması ( $\bar{X}$ ) cinsinden aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ , $\alpha$ anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabiti göstermektedir.)

\bar{X} \geq c

\bar{X} \leq c

|\bar{X} - p_0| \geq c

\bar{X}(1-\bar{X}) \geq c

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \geq c

Show answer & explanation

Answer: $\bar{X} \geq c$

Answer

Testin ret bölgesi, örneklem ortalamasının belirli bir sabit değerden büyük veya eşit olması durumudur (

\bar{X} \geq c

).

Neyman-Pearson Lemması'na göre ret bölgesi

L(H_0)/L(H_1) \leq k

eşitsizliğinden elde edilir. Bernoulli dağılımı için olabilirlik oranı yazılıp logaritması alındığında,

p_1 > p_0

varsayımı altında yeterli istatistik olan

\sum X_i

'nin önündeki çarpan negatif çıkmaktadır. Eşitsizliğin her iki tarafı bu negatif değere bölündüğünde eşitsizliğin yönü tersine döner ve

\sum X_i \geq c'

sonucuna ulaşılır.

\sum X_i = n\bar{X}

yerine konulduğunda ret bölgesinin

\bar{X} \geq c

olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.

L(p) = \prod_{i=1}^n p^{X_i} (1-p)^{1-X_i} = p^{\sum X_i} (1-p)^{n-\sum X_i}

Neyman-Pearson Lemması olabilirlik oranı testini temel alır.

2

Neyman-Pearson olabilirlik oranını (LR) yazmak ve

k

sabiti ile eşitsizlik kurmak.

\frac{L(p_0)}{L(p_1)} = \left( \frac{p_0}{p_1} \right)^{\sum X_i} \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right)^{n-\sum X_i} = \left( \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} \right)^{\sum X_i} \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right)^n \leq k

En güçlü (MP) test ret bölgesi,

H_0

altındaki olabilirliğin

H_1

altındaki olabilirliğe oranının belirli bir

k

sabitinden küçük veya eşit olması koşuluna dayanır.

3

Eşitsizliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak

\sum X_i

'yi yalnız bırakmaya çalışmak.

(\sum X_i) \ln \left( \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} \right) + n \ln \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right) \leq \ln k

Üstel ifadeyi doğrusal hale getirerek yeterli istatistiği (

\sum X_i

) denklemden ayrıştırmak.

4

Eşitsizliğin yönünü belirlemek üzere

\sum X_i

'nin katsayısının işaretini incelemek.

p_1 > p_0

olduğu için

\frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} < 1

'dir. Dolayısıyla bu ifadenin logaritması negatiftir. Eşitsizlik negatif katsayıya bölündüğünde yön değiştirir:

\sum X_i \geq c'

Negatif bir değere bölme veya negatif bir değerle çarpma işlemi matemetiksel olarak eşitsizliğin yönünü tersine çevirir.

5

Test istatistiğini örneklem ortalamasına (

\bar{X}

) dönüştürmek.

\sum X_i = n\bar{X}

olduğundan ifade

\bar{X} \geq \frac{c'}{n} = c

halini alır.

Soruda ret bölgesinin örneklem ortalaması (

\bar{X}

) cinsinden ifade edilmesi istenmektedir.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması ve En Güçlü (MP) Test

Estimated Time:1m 30s

Question 6Question →

Varyansı $16$ olarak bilinen normal dağılımlı bir kitleden çekilen $16$ birimlik rastgele bir örneklemin ortalaması $\bar{X}$ ile gösterilmektedir.

Kitlenin bilinmeyen $\mu$ ortalaması için kurulan $H_0: \mu = 20$ yokluk hipotezi, $H_1: \mu > 20$ alternatif hipotezine karşı test edilecektir.

Bu test için belirlenen ret bölgesi $C = \{ \bar{X} \in \mathbb{R} : \bar{X} > 21,5 \}$ olduğuna göre, $\mu = 22,5$ değeri için testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

( $Z \sim N(0,1)$ olmak üzere standart normal dağılımın bazı birikimli olasılık değerleri şöyledir: $P(Z \le 1) = 0,8413$ , $P(Z \le 1,5) = 0,9332$ , $P(Z \le 2) = 0,9772$ )

0,0668

0,1587

0,8413

0,9332

0,9772

Show answer & explanation

Answer: $0,8413$

Answer

0,8413

Testin gücü, alternatif hipotez doğruyken test istatistiğinin ret bölgesine düşme olasılığıdır. Soruda güç,

\mu = 22,5

değeri için istenmektedir ve ret bölgesi

\bar{X} > 21,5

olarak verilmiştir. Buna göre Güç =

P(\bar{X} > 21,5 \mid \mu = 22,5)

şeklinde yazılır. Örneklem ortalaması

\bar{X}

'in standart sapması

\sigma_{\bar{X}} = \sigma / \sqrt{n} = 4 / \sqrt{16} = 1

'dir. Değerler standart normal formata (Z) dönüştürüldüğünde:

P(Z > \frac{21,5 - 22,5}{1}) = P(Z > -1)

elde edilir. Normal dağılımın simetri özelliğinden dolayı

P(Z > -1) = P(Z \le 1)

olur ve soruda verilen bilgi kullanılarak güç

0,8413

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Testin gücü kavramını tanımlamak

Güç = P(H_0 reddedilir | H_1 doğrudur) = P(X_bar > 21,5 | mu = 22,5)

Testin gücü, alternatif hipotezdeki bir değer varsayımı altında, test istatistiğinin belirlenen kritik bölgeye (ret bölgesine) düşme olasılığıdır.

2

Örneklem ortalamasının standart sapmasını hesaplamak

sigma_{X_bar} = sigma / sqrt(n) = 4 / sqrt(16) = 1

Z dönüşümü yapabilmek için örneklem ortalamasının standart hatasına ihtiyaç vardır.

3

Standart normal dağılım (Z) dönüşümünü uygulamak

Z = (21,5 - 22,5) / 1 = -1

İhtiyaç duyulan olasılık değerini standart normal dağılım tablosundan okuyabilmek için değişken standardize edilir.

4

İstenen olasılığı hesaplamak

P(Z > -1) = P(Z <= 1) = 0,8413

Z dağılımı sıfıra göre simetrik olduğundan, P(Z > -1) değeri ile P(Z <= 1) değeri aynıdır ve bu da aranan güç değeridir.

Key Concept

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Question 7Question →

Bir araştırmacı, $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{-(\theta+1)}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilen Pareto dağılımına sahip olduğunu bilmektedir. $H_0: \theta = 2$ yokluk hipotezinin, $H_1: \theta = 1$ alternatif hipotezine karşı test edilmesinde, Neyman-Pearson Lemması'na göre $\alpha$ anlamlılık düzeyindeki en güçlü (most powerful) testin ret bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada $c$ , $\alpha$ tarafından belirlenen uygun bir sabittir.)

\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c

\prod_{i=1}^{n} X_i \leq c

\sum_{i=1}^{n} X_i \geq c

\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i} \geq c

Show answer & explanation

Answer: $\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c$

Answer

En güçlü testin ret bölgesi, örneklem değerlerinin çarpımının belirli bir c sabitinden büyük veya eşit olmasını gerektiren ifadedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü testin ret bölgesi

\frac{L(H_0)}{L(H_1)} \leq k

şartını sağlayan bölgedir. Pareto dağılımı için olabilirlik fonksiyonu

L(\theta) = \theta^n (\prod x_i)^{-(\theta+1)}

dir. Yerine koyduğumuzda

\frac{2^n (\prod x_i)^{-3}}{1^n (\prod x_i)^{-2}} \leq k

elde edilir. Bu ifade sadeleştirildiğinde

2^n (\prod x_i)^{-1} \leq k

veya eşdeğer olarak

\frac{2^n}{\prod x_i} \leq k

bulunur. Eşitsizliğin her iki tarafında yer değiştirme yapıldığında

\prod_{i=1}^n x_i \geq \frac{2^n}{k}

sonucuna ulaşılır.

\frac{2^n}{k}

ifadesine

c

dersek, doğru ret bölgesi

\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c

olur.

Step-by-Step Solution

1

Dağılım için

L(\theta)

olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluştur.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{-(\theta+1)} = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{-(\theta+1)}

Neyman-Pearson oranını hesaplayabilmek için

H_0

ve

H_1

altındaki olabilirlik fonksiyonlarına ihtiyaç vardır.

2

H_0: \theta=2

ve

H_1: \theta=1

değerlerini yerlerine koyarak

L(H_0)/L(H_1) \leq k

oranını yaz.

\frac{2^n (\prod x_i)^{-3}}{1^n (\prod x_i)^{-2}} \leq k

Neyman-Pearson Lemması, en güçlü testin ret bölgesini

\frac{L(\theta_0|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} \leq k

olarak tanımlar.

3

Elde edilen eşitsizliği örneklem istatistiğini yalnız bırakacak şekilde sadeleştir.

2^n (\prod x_i)^{-1} \leq k \implies \frac{2^n}{\prod x_i} \leq k \implies \frac{2^n}{k} \leq \prod_{i=1}^n x_i

Ret bölgesini, verilerden doğrudan hesaplanabilen bir test istatistiği (

T(\mathbf{x})

) ve bir kritik değer (

c

) cinsinden ifade etmek gerekir.

4

Sabit terimleri yeni bir

c

sabiti altında toplayarak nihai ret bölgesini belirle.

\prod_{i=1}^n X_i \geq c \quad \text{(burada } c = 2^n / k \text{ dir.)}

Kritik değer

c

,

\alpha

anlamlılık düzeyine bağlı olarak dağılım üzerinden belirlenecek nihai sınırı ifade eder.

Key Concept

Basit hipotezlere karşı basit alternatif hipotezlerin test edilmesinde en güçlü testin (MP test) ret bölgesini bulmak için kullanılan teorem.

Question 8Question →

Bir kamu kurumu laboratuvarında kullanılan bir analiz cihazının kalibrasyon stabilitesi incelenmektedir. İnceleme kapsamında ardışık olarak elde edilen $n$ adet bağımsız ölçüm sapması $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ rastgele değişkenleri ile modellenmiştir. Her bir ölçüm sapmasının ortalaması sıfır, varyansı ise bilinmeyen bir $\theta$ parametresi olan normal dağılıma ( $Y_i \sim N(0, \theta)$ , $\theta > 0$ , $y_i \in \mathbb{R}$ ) sahip olduğu tespit edilmiştir. Uzmanlar cihazdaki varyasyonun kritik bir $\theta_0$ eşiğini aşıp aşmadığını belirlemek için $H_0: \theta \leq \theta_0$ yokluk hipotezini $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezine karşı test edecektir.

Buna göre, dağılım ailesinin $\theta$ parametresine göre Monoton Olabilirlik Oranına (MLR) sahip olmasını sağlayan yeterli istatistik $T(\mathbf{y})$ ve herhangi bir $\theta_1 > \theta_0$ için olabilirlik oranının ( $L(\theta_1)/L(\theta_0)$ ) bu istatistiğe göre monotonluk durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru tanımlanmıştır?

Yeterli istatistik

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i

olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.

Yeterli istatistik

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2

olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton azalandır.

Yeterli istatistik

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2

olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.

Yeterli istatistik

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2

olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.

Yeterli istatistik

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i

olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton azalandır.

Show answer & explanation

Answer: Yeterli istatistik $T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2$ olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.

Answer

Yeterli istatistik

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2

olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.

Kitle ortalaması bilindiği (sıfır olduğu) için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca yeterli istatistik

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2

olarak bulunur.

\theta_1 > \theta_0

için kurulan

L(\theta_1)/L(\theta_0)

oranında

\sum y_i^2

istatistiğinin katsayısı

\left(\frac{1}{2\theta_0} - \frac{1}{2\theta_1}\right)

pozitif bir değer alır. Üstel (eksponansiyel) fonksiyon artan bir fonksiyon olduğundan ve pozitif bir sayıyla çarpıldığından, yeterli istatistiğe göre olabilirlik oranı monoton artandır.

Step-by-Step Solution

1

Y_1, \dots, Y_n

örneklemi için olabilirlik fonksiyonunu (

L(\theta)

) oluşturunuz.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}} \exp\left(-\frac{y_i^2}{2\theta}\right) = (2\pi\theta)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\theta} \sum_{i=1}^n y_i^2\right)

Yeterli istatistiği belirlemek ve olabilirlik oranını hesaplamak için temel fonksiyonun elde edilmesi gerekir.

2

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile yeterli istatistiği belirleyiniz.

Gözlemlere bağlı çarpan

\exp\left(-\frac{1}{2\theta} \sum_{i=1}^n y_i^2\right)

ifadesidir, dolayısıyla

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2

yeterli istatistiktir.

MLR özelliğinin tanımlanabilmesi için olabilirlik oranının yeterli istatistiğe bağlı bir fonksiyon olarak yazılması zorunludur.

3

\theta_1 > \theta_0

koşulu altında

L(\theta_1) / L(\theta_0)

oranını hesaplayınız ve monotonluk yönünü belirleyiniz.

Oran:

\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \left(\frac{\theta_0}{\theta_1}\right)^{n/2} \exp\left[ \left(\frac{1}{2\theta_0} - \frac{1}{2\theta_1}\right) \sum_{i=1}^n y_i^2 \right]

olur.

\theta_1 > \theta_0 > 0

olduğundan

\frac{1}{\theta_0} > \frac{1}{\theta_1}

eşitsizliği geçerlidir. Bu durumda üstel katsayı

\left(\frac{1}{2\theta_0} - \frac{1}{2\theta_1}\right) > 0

olur ve oran fonksiyonu

T(\mathbf{y})

istatistiğine göre monoton artandır.

MLR tanımı gereği, üstel ifadedeki katsayının işareti (pozitif olması) fonksiyonun yeterli istatistik üzerinden monoton artan olduğunu gösterir.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Question 9Question →

Bir araştırmacı, bir finansal varlığın belirli bir dönemdeki oransal getirilerini $X$ rassal değişkeni ile modellemektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x|\theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta - 1} & , \quad 0 < x < 1 \\ 0 & , \quad \text{diğer durumlarda} \end{cases}

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bu dağılımdan alınan $n$ çaplı rastgele bir örneklem olmak üzere, bu dağılım ailesinin Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahip olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $\theta_2 > \theta_1$ koşulunu sağlayan parametre değerleri için oluşturulan $\frac{L(\theta_2 | \mathbf{x})}{L(\theta_1 | \mathbf{x})}$ olabilirlik fonksiyonları oranı, aşağıdaki istatistiklerden hangisine göre artan bir fonksiyondur?

\sum_{i=1}^n \ln(x_i)

-\sum_{i=1}^n \ln(x_i)

\sum_{i=1}^n x_i

\sum_{i=1}^n \ln(1-x_i)

\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n \ln(x_i)$

Answer

Doğru istatistik

\sum_{i=1}^n \ln(x_i)

ifadesini içeren seçenektir.

Olabilirlik fonksiyonları oranı hesaplandığında, oran

\exp\left( (\theta_2 - \theta_1) \sum_{i=1}^n \ln(x_i) \right)

ile orantılı çıkmaktadır. Soru kökünde

\theta_2 > \theta_1

olduğu belirtildiği için üs çarpanı olan

(\theta_2 - \theta_1)

pozitiftir. Pozitif katsayılı bir üstel fonksiyon, üssündeki değişkene göre monoton artan özellik gösterir. Bu yüzden oran, doğrudan

\sum_{i=1}^n \ln(x_i)

istatistiğine göre artan bir fonksiyondur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem için ortak olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu

L(\theta|\mathbf{x})

matematiksel olarak ifade edin.

L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}

Monoton olabilirlik oranını bulabilmek için öncelikle örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyacımız vardır.

2

\theta_2 > \theta_1

varsayımı altında olabilirlik fonksiyonları oranını

\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})}

yazın.

\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} = \frac{\theta_2^n \left(\prod x_i\right)^{\theta_2-1}}{\theta_1^n \left(\prod x_i\right)^{\theta_1-1}}

MLR tanımı gereği iki farklı parametre değeri için olabilirliklerin oranının incelenmesi şarttır.

3

Oran ifadesini üstel (exponential) forma dönüştürerek sadeleştirin ve yeterli istatistiği belirginleştirin.

\left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta_2-\theta_1} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \exp\left( (\theta_2-\theta_1) \sum_{i=1}^n \ln(x_i) \right)

Üstel form, fonksiyonun hangi istatistiğe bağlı olarak monoton şekilde değiştiğini çok daha net gösterir.

4

Elde edilen üslü ifadenin monotonluk yönünü analiz edin.

\theta_2 > \theta_1

olduğu için

(\theta_2 - \theta_1)

farkı pozitiftir. Üslü fonksiyon (

\exp(c \cdot T)

)

c > 0

için artan bir fonksiyon olduğundan, tüm oran

\sum_{i=1}^n \ln(x_i)

istatistiğine göre artan bir fonksiyondur.

MLR kuralına göre, oranın monoton artan olmasını sağlayan istatistik, UMP testinin red bölgesini belirlemede kullanılır.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Üstel Aileler

Alternative Method

Çarpım kuralı (Product rule) kullanılarak doğrudan olabilirlik oranı

\left(\prod x_i\right)^{\theta_2-\theta_1}

şeklinde bırakılabilir.

\theta_2 - \theta_1 > 0

olduğundan, oran

\prod x_i

istatistiğine göre de artan bir fonksiyondur. Ancak seçeneklerde doğrusal dönüşüm olan logaritmik toplam verildiği için

\ln(\prod x_i) = \sum \ln(x_i)

eşitliğinden sonuca kolayca ulaşılır.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir sigorta şirketinin aktüerya birimi, belirli bir poliçe türü için gelen günlük hasar ihbarı sayılarını $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi ile modellemektedir. Hasar sayılarının Poisson dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. Ancak uzmanlar risk modellemesinde beklenen hasar sayısı yerine, ortalama hasar aralığı olarak yorumlanabilen $\theta$ parametresini kullanmaktadır. Bu durumda, rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu şu şekilde verilmiştir:

f(x|\theta) = \frac{\theta^{-x} e^{-1/\theta}}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots \quad \text{ve} \quad \theta > 0

Araştırmacılar $\theta$ parametresine yönelik düzgün en güçlü (UMP) testi oluşturabilmek için monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliğini incelemektedir.

Buna göre, verilen dağılım ailesinin monoton olabilirlik oranına (MLR) sahip olduğu yeterli istatistik $T(\mathbf{X})$ aşağıdakilerden hangisidir?

T(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n X_i

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i

T(\mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n X_i

T(\mathbf{X}) = \frac{1}{\sum_{i=1}^n X_i}

T(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i}

Show answer & explanation

Answer: $T(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n X_i$

Answer

Dağılımın monoton olabilirlik oranına (MLR) sahip olduğu yeterli istatistik

T(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n X_i

formülüdür.

Verilen olasılık fonksiyonunun

\theta_2 > \theta_1 > 0

için olabilirlik oranı hesaplandığında

L(\theta_2)/L(\theta_1)

ifadesinde örnekleme bağlı çarpan

\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{\sum x_i}

olur. Bunu üstel formda

\exp\left[ \left(\sum x_i\right) \ln\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right) \right]

olarak yazabiliriz.

\theta_2 > \theta_1

olduğundan

\theta_1 / \theta_2 < 1

ve dolayısıyla

\ln(\theta_1/\theta_2)

değeri negatiftir. Bu durum olabilirlik oranının

\sum x_i

istatistiğine göre kesin olarak azalan bir fonksiyon olduğunu gösterir. Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğinin sağlanması için oranın söz konusu istatistiğe göre 'azalmayan (artan)' olması gerekir. Bu nedenle istatistiğin negatif işaretlisi olan

-\sum_{i=1}^n X_i

kullanıldığında oran monoton artan hale gelir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen dağılım için

n

çaplı örneklemin olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood) yazmak.

L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{\theta^{-x_i} e^{-1/\theta}}{x_i!} = \frac{\theta^{-\sum x_i} e^{-n/\theta}}{\prod x_i!}

Monoton olabilirlik oranını test edebilmek için öncelikle ortak olasılık fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.

2

\theta_2 > \theta_1

koşulu altında olabilirlik oranını

L(\theta_2) / L(\theta_1)

hesaplamak.

\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = \frac{\theta_2^{-\sum x_i} e^{-n/\theta_2}}{\theta_1^{-\sum x_i} e^{-n/\theta_1}} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{\sum x_i} \exp\left[n\left(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2}\right)\right]

MLR tanımı, iki farklı parametre değeri için olabilirlik fonksiyonlarının birbirine oranlanmasına dayanır.

3

Elde edilen oranı, örneklem istatistiğine bağlı bir fonksiyon olarak analiz edip artanlık/azalanlık durumunu kontrol etmek.

Örnekleme bağlı kısım

\exp\left[ \left(\sum x_i\right) \ln\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right) \right]

şeklinde yazılır.

Oranın hangi fonksiyona göre monoton artan (azalmayan) olduğunu belirlemek için ifadeyi üstel forma sokmak analizi kolaylaştırır.

4

\theta_2 > \theta_1

eşitsizliğini kullanarak türev veya eğim işaretini belirlemek ve istatistiği tanımlamak.

\theta_2 > \theta_1 \implies \frac{\theta_1}{\theta_2} < 1 \implies \ln\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right) < 0

. Katsayı negatif olduğundan, oran

\sum X_i

'ye göre azalandır. Artan olması için

T(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n X_i

alınmalıdır.

MLR tanımı gereği, olabilirlik oranı seçilen istatistiğe göre monoton azalmayan (artan) bir fonksiyon olmalıdır. Negatif işareti kompanse etmek için istatistik eksi ile çarpılır.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Üstel Aileler

Estimated Time:3m 0s

Question 11Question →

Bir araştırmacı, $f(x;\theta) = \theta x^{\theta-1}$ ( $0 < x < 1$ , $\theta > 0$ ) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir kitleyi incelemektedir. Bu kitleden alınan $n$ çaplı rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ 'dir.

Araştırmacı, $H_0: \theta \leq \theta_0$ yokluk hipotezini $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezine karşı $\alpha$ anlamlılık düzeyinde test etmek istemektedir.

Karlin-Rubin teoremi (monoton olabilirlik oranı özelliği) dikkate alındığında, bu test için oluşturulacak Düzgün En Güçlü (UMP) testin kritik (red) bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ , $\alpha$ anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabittir.)

\prod_{i=1}^n X_i > c

\prod_{i=1}^n X_i < c

\sum_{i=1}^n X_i > c

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) < c

\sum_{i=1}^n X_i < c

Show answer & explanation

Answer: $\prod_{i=1}^n X_i > c$

Answer

Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi

\prod_{i=1}^n X_i > c

formundadır.

UMP testinin bulunması için öncelikle olabilirlik oranı yazılır.

L(\theta_1)/L(\theta_0)

oranı,

\theta_1 > \theta_0

koşulu altında incelendiğinde

T = \prod_{i=1}^n X_i

istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonu olarak elde edilir. Karlin-Rubin teoremine göre olabilirlik oranının yeterli istatistiğe bağlı monoton artan olması durumunda,

H_0: \theta \leq \theta_0

hipotezinin reddedileceği kritik bölge istatistiğin yeterince büyük değerler aldığı

T > c

(yani

\prod_{i=1}^n X_i > c

) bölgesi olarak tanımlanır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}

UMP testini bulmak üzere Karlin-Rubin teoremini uygulamak için öncelikle olabilirlik fonksiyonunun ve olabilirlik oranının tanımlanması gerekir.

2

\theta_1 > \theta_0

varsayımı ile

L(\theta_1) / L(\theta_0)

oranını hesaplayın.

\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \frac{\theta_1^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta_1-1}}{\theta_0^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta_0-1}} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_0}\right)^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta_1-\theta_0}

Dağılımın monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliğine sahip olup olmadığını ve bu özelliğin hangi istatistiğe bağlı olduğunu belirlemek için gereklidir.

3

Olabilirlik oranının monotonluğunu inceleyerek red bölgesini belirleyin.

\theta_1 > \theta_0

olduğundan üs olan

\theta_1-\theta_0 > 0

'dır. Bu nedenle olabilirlik oranı,

T = \prod_{i=1}^n X_i

istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonudur. Red bölgesi

\prod_{i=1}^n X_i > c

olarak elde edilir.

Karlin-Rubin teoremine göre, oran bir

T

istatistiğinde monoton artan ise, tek yönlü (

H_1: \theta > \theta_0

) testler için UMP red bölgesi

T > c

yapısındadır.

Key Concept

Karlin-Rubin Teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Question 12Question →

Bir kalite kontrol sürecinde, üretilen hassas ölçüm cihazlarının kalibrasyon hataları $N(0, \theta)$ normal dağılımına uymaktadır. Bu cihazlardan rastgele seçilen $n$ tanesinin hata payları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak ölçülmüştür.

Sürecin standart durumunda varyansın $\theta = 1$ olduğu, ancak bir makine arızası durumunda varyansın $\theta = 4$ seviyesine çıktığı bilinmektedir. Kalite kontrol uzmanı, $\alpha$ anlamlılık düzeyinde aşağıdaki basit hipotezleri test edecektir:

H_0: \theta = 1

H_1: \theta = 4

Neyman-Pearson Lemması'na göre, $H_0$ hipotezine karşı $H_1$ hipotezini test etmek için $\alpha$ anlamlılık düzeyindeki en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $\chi^2_{\nu, \alpha}$ , $\nu$ serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının üst $\alpha$ olasılıklı kritik değerini göstermektedir.)

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \geq \chi^2_{n, \alpha}

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \leq \chi^2_{n, 1-\alpha}

\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \geq \chi^2_{n-1, \alpha}

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \geq 4 \chi^2_{n, \alpha}

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \leq \chi^2_{n, \alpha}

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \geq \chi^2_{n, \alpha}$

Answer

Doğru red bölgesi, örneklem değerlerinin kareleri toplamının n serbestlik dereceli ki-kare dağılımının üst alfa kritik değerinden büyük veya eşit olması durumudur.

Doğru cevap, varyans için Neyman-Pearson olabilirlik oranı testinin eksiksiz sonucudur. Alternatif hipotezdeki varyans değeri yokluk hipotezinden büyük olduğu için, test istatistiği olan kareler toplamı (

\sum X_i^2

) büyük değerler aldığında

H_0

reddedilmelidir.

H_0

altında

X_i

'ler standart normal dağıldığı için kareleri toplamı

n

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına uyar. Test istatistiği büyük değerlerde reddedildiği için red bölgesi üst kuyruk olan

\chi^2_{n, \alpha}

değeri ile sınırlanır.

Step-by-Step Solution

1

Neyman-Pearson lemmasına göre olabilirlik oranını (

\Lambda

) kurun.

\Lambda = \frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \frac{L(4)}{L(1)} \geq k

eşitsizliği oluşturulur.

En güçlü testin red bölgesi, alternatif hipotezin olabilirlik fonksiyonunun yokluk hipotezinin olabilirlik fonksiyonuna oranının belirli bir k sabitinden büyük olmasıyla bulunur.

2

L(4)

ve

L(1)

değerlerini normal dağılım yoğunluk fonksiyonunu kullanarak yerine yazın.

\frac{(8\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{8} \sum X_i^2)}{(2\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{2} \sum X_i^2)} = 4^{-n/2} \exp\left( (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) \sum X_i^2 \right) \geq k

Red bölgesini örneklem istatistiği

\sum X_i^2

cinsinden yalnız bırakmak için fonksiyonların oranlanması gereklidir.

3

Eşitsizliği

\sum X_i^2

istatistiğini yalnız bırakacak şekilde çözün.

\exp\left(\frac{3}{8} \sum X_i^2\right) \geq k \cdot 4^{n/2} \implies \frac{3}{8} \sum X_i^2 \geq \ln(k \cdot 4^{n/2}) \implies \sum X_i^2 \geq c

bulunur.

\theta_1 = 4 > \theta_0 = 1

olduğu için, varyansın büyümesi kareler toplamının da büyük değerler almasına yol açar.

4

H_0

altındaki dağılımı kullanarak kritik değer

c

'yi belirleyin.

H_0

doğruyken (

\theta = 1

), kitle

N(0, 1)

dağılımına sahiptir. Dolayısıyla standart normal dağılımlı değişkenlerin kareleri toplamı olan

\sum X_i^2 \sim \chi^2_n

olur.

P(\chi^2_n \geq c) = \alpha

eşitliğinden

c = \chi^2_{n, \alpha}

olarak bulunur.

Red bölgesinin sınır değeri (kritik değer), I. tip hata olasılığının (

\alpha

) tam olarak testin anlamlılık düzeyine eşit olmasını sağlamalıdır.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması ve Normal Dağılımda Varyans Testi

Estimated Time:3m 0s

Question 13Question →

Bir tarım araştırma enstitüsünde, yeni geliştirilen bir bitki türünün ulaşabileceği maksimum boy uzunluğunu tahmin etmek amacıyla $X$ rassal değişkeni incelenmektedir. Araştırmacılar, $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonunun $0 < x < \theta$ için $f(x|\theta) = \frac{1}{\theta}$ ve diğer durumlarda $f(x|\theta) = 0$ olan sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğunu bilmektedir ( $\theta > 0$ ).

Rastgele seçilen $n$ adet bitkinin boy uzunlukları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olmak üzere, bu dağılım ailesinin $\theta$ parametresine göre monoton olabilirlik oranına (MLR) sahip olduğu istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

T(\mathbf{X}) = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)

T(\mathbf{X}) = \min(X_1, X_2, \dots, X_n)

T(\mathbf{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i

T(\mathbf{X}) = \max(X_1, \dots, X_n) - \min(X_1, \dots, X_n)

T(\mathbf{X}) = \max(X_1, \dots, X_n) + \min(X_1, \dots, X_n)

Show answer & explanation

Answer: $T(\mathbf{X}) = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$

Answer

Dağılım ailesi, örneklemin maksimum değerini veren en büyük sıra istatistiğine yani

T(\mathbf{X}) = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)

değerine göre monoton olabilirlik oranına sahiptir.

Düzgün dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonundan elde edilen olabilirlik oranı, en büyük sıra istatistiği olan maksimum değere bağlı olarak sabitten sonsuza doğru artış gösterir. Bu matematiksel davranış, en büyük sıra istatistiğinin bu dağılım ailesi için monoton olabilirlik oranı (MLR) koşulunu sağladığını kanıtlar.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu oluşturma

L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(X_{(n)} \leq \theta)

(Burada

X_{(n)} = \max(X_i)

)

Düzgün dağılımda tüm gözlemlerin

\theta

'dan küçük olması gerekliliği, gösterge fonksiyonu ve en büyük sıra istatistiği ile ifade edilir.

2

\theta_2 > \theta_1

durumu için olabilirlik oranını yazma

\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^n \frac{I(X_{(n)} \leq \theta_2)}{I(X_{(n)} \leq \theta_1)}

MLR koşulunun sağlanıp sağlanmadığını görmek için iki farklı parametre değeri üzerinden oran testi yapılır.

3

Oranın

X_{(n)}

istatistiğine göre değişimini analiz etme

X_{(n)} \leq \theta_1

için oran sabittir.

\theta_1 < X_{(n)} \leq \theta_2

için payda sıfır olacağından oran sonsuza gider. Dolayısıyla oran,

X_{(n)}

'in azalmayan bir fonksiyonudur.

Bir oranın belirli bir istatistiğe göre azalmayan (non-decreasing) olması, o istatistik bağlamında Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini ispatlar.

Key Concept

Sürekli düzgün dağılımda yeterli istatistik ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Question 14Question →

Bir çevresel etki araştırmasında, bir su kaynağındaki belirli bir kirleticinin yoğunluk indeksi $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} (\theta + 1)x^\theta, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu su kaynağının kirlilik durumu ile ilgili $H_0: \theta = 1$ basit yokluk hipotezi, $H_1: \theta = 2$ basit alternatif hipotezine karşı tek bir $X$ gözlemi kullanılarak test edilecektir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, $\alpha$ anlamlılık düzeyinde bu test için en güçlü (Most Powerful) testin ret bölgesi (kritik bölge) aşağıdakilerden hangisidir?

X \leq \sqrt{\alpha}

X \geq 1 - \alpha

X \geq \sqrt{1 - \alpha}

X \geq \sqrt[3]{1 - \alpha}

X \geq \sqrt{\alpha}

Show answer & explanation

Answer: $X \geq \sqrt{1 - \alpha}$

Answer

En güçlü testin ret bölgesi

X \geq \sqrt{1 - \alpha}

şeklindedir.

Neyman-Pearson Lemması uyarınca olabilirlik oranı

\frac{f_0(x)}{f_1(x)} = \frac{2}{3x} \leq k

şeklinde oluşturulur.

x > 0

olduğu için bu eşitsizlik

x \geq c

şeklinde bir kritik bölge ifade eder.

\alpha

anlamlılık düzeyi,

H_0

altında bu bölgenin alanına eşittir:

P(X \geq c \mid \theta=1) = \int_c^1 2x \, dx = 1 - c^2 = \alpha

. Buradan

c = \sqrt{1 - \alpha}

elde edilir ve en güçlü testin ret bölgesi

X \geq \sqrt{1 - \alpha}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Neyman-Pearson Lemması'na göre olabilirlik oranını (Likelihood Ratio) oluştur.

\frac{L(H_0)}{L(H_1)} \leq k

eşitsizliği yazılır.

En güçlü (Most Powerful) testin kritik bölgesi bu eşitsizlikle tanımlanır.

2

Hipotezlerdeki parametre değerlerini olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine koyarak oranı hesapla.

H_0: \theta = 1 \implies f_0(x) = 2x

H_1: \theta = 2 \implies f_1(x) = 3x^2

\frac{2x}{3x^2} = \frac{2}{3x} \leq k

Olabilirlik oranını sadece gözlem (

x

) değerine bağlı bir istatistik haline getirmek için.

3

Eşitsizliği

x

yalnız kalacak şekilde düzenle ve ret bölgesinin yönünü belirle.

\frac{2}{3x} \leq k \implies x \geq \frac{2}{3k}

. Bu değer bir

c

sabitine eşitlendiğinde ret bölgesi

X \geq c

olur.

Ret bölgesini, test istatistiği olan

X

üzerinden doğrudan ifade edebilmek için.

4

Anlamlılık düzeyi

\alpha

'yı kullanarak

c

kritik değerini hesaplamak için integral denklemini kur.

\alpha = P(X \geq c \mid H_0) = \int_c^1 2x \, dx

I. Tip hata olasılığı (

\alpha

),

H_0

doğruyken test istatistiğinin ret bölgesine düşme olasılığıdır.

5

İntegrali hesapla ve

c

'yi

\alpha

cinsinden bul.

\int_c^1 2x \, dx = x^2 \Big|_c^1 = 1 - c^2 = \alpha \implies c^2 = 1 - \alpha \implies c = \sqrt{1 - \alpha}

. Ret bölgesi:

X \geq \sqrt{1 - \alpha}

.

Kritik değeri tam ve analitik olarak ifade ederek testi tamamlamak için.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması ve Kritik Bölge Hesabı

Estimated Time:2m 0s

Question 15Question →

Bir kamu denetim kurumu, bir sanayi tesisinin atık sularındaki toksik madde miktarının mevzuatta belirlenen üst sınır olan $\mu_0 = 0.05$ mg/L'yi aşıp aşmadığını istatistiksel olarak denetlemektedir. Kurum, tesisin yasal sınırı aştığına dair istatistiksel kanıt elde ettiğinde cezai işlem uygulamaktadır. Bu amaçla aşağıdaki hipotezler kurulmuştur:

$H_0: \mu \le 0.05$ (Tesis kurallara uygundur)
$H_1: \mu > 0.05$ (Tesis yasal sınırı aşmaktadır)

Atık sudan rastgele alınan numunelerle gerçekleştirilen analiz sonucunda, hesaplanan test istatistiğine karşılık gelen $p$ -değeri $0.032$ olarak bulunmuştur.

Bu hipotez testi süreci ve temel kavramlar bağlamında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Testin anlamlılık düzeyi

\alpha = 0.05

olarak belirlenmiş olsaydı tesis ceza alırdı, ancak

\alpha = 0.01

olarak belirlenseydi tesis ceza almaktan kurtulurdu.

Bu testte II. Tip hata; atık sudaki toksik madde miktarı gerçekte yasal sınırı aştığı halde, analiz sonucunda tesisin kurallara uygun olduğuna karar verilmesi durumudur.

Kurum karar sürecinde anlamlılık düzeyini (

\alpha

)

0.05

'ten

0.01

'e düşürdüğünde, numunelerden elde edilen

p

-değeri de küçülecek ve tesisin haksız yere ceza alma olasılığı artacaktır.

Anlamlılık düzeyi sabit kalmak koşuluyla, kurumun analiz ettiği numune sayısı artırıldığında, kuralları ihlal eden bir tesisi tespit etme gücü (

1-\beta

) artar.

Tesisin atık suyundaki gerçek toksik madde miktarının

0.06

mg/L olması durumuna kıyasla,

0.08

mg/L olması durumunda kurumun II. Tip hata yapma olasılığı (

\beta

) daha düşüktür.

Show answer & explanation

Answer: Kurum karar sürecinde anlamlılık düzeyini ( $\alpha$ ) $0.05$ 'ten $0.01$ 'e düşürdüğünde, numunelerden elde edilen $p$ -değeri de küçülecek ve tesisin haksız yere ceza alma olasılığı artacaktır.

Answer

Anlamlılık düzeyinin (

\alpha

) düşürülmesinin

p

-değerini küçülteceğini ve haksız yere ceza alma olasılığını artıracağını belirten ifade kesinlikle yanlıştır.

Yanlış olan ifade,

p

-değerinin

\alpha

kararına göre değişeceğini ve

\alpha

düştüğünde haksız ceza riskinin artacağını iddia etmektedir. Gerçekte

p

-değeri sadece örneklem verisinden hesaplanır ve

\alpha

düzeyinden tamamen bağımsızdır. Ayrıca,

\alpha

değeri doğrudan I. Tip hata (doğru olan

H_0

'ı reddetme, yani haksız ceza verme) olasılığıdır. Dolayısıyla

\alpha

'nın düşürülmesi bu riski artırmaz, tam aksine azaltır.

Step-by-Step Solution

1

Senaryodaki hipotezleri ve hata türlerinin pratik karşılıklarını belirle.

I. Tip Hata (

H_0

'ı haksız reddetmek) = Masum tesise ceza vermek. II. Tip Hata (

H_1

doğruyken

H_0

'ı reddedememek) = İhlal yapan tesisi cezasız bırakmak.

Hata tanımlarının metin üzerindeki izdüşümlerini netleştirmek.

2

Hesaplanan

p=0.032

değeri üzerinden karar mekanizmasını test et.

0.032 < 0.05

olduğu için

\alpha=0.05

'te ceza verilir.

0.032 > 0.01

olduğu için

\alpha=0.01

'de ceza verilmez.

Anlamlılık düzeyi eşiklerinin farklı sonuçlara yol açtığını doğrulayan ifadelerin elenmesi.

3

\alpha

'nın değiştirilmesinin etkilerini teorik olarak analiz et.

\alpha

değerinin değişmesi örneklemden elde edilen

p

-değerini etkilemez. Ayrıca

\alpha

bizzat haksız ceza (I. Tip hata) olasılığıdır; küçültülmesi bu riski azaltır.

Yanlış olan ifadenin kavramsal kopukluklarını açıkça ispatlamak.

Key Concept

Hipotez testlerinde p-değerinin yorumlanması, I. ve II. Tip hata olasılıkları ile anlamlılık düzeyi (alfa) arasındaki nedensel ilişkiler.

Question 16Question →

Bir hastanenin acil servisine belirli bir saat diliminde gelen acil vaka sayısının $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uyduğu bilinmektedir. Hastane yönetimi, saatlik ortalama vaka sayısına ilişkin $H_0: \lambda = 1$ yokluk hipotezini, $H_1: \lambda = 3$ alternatif hipotezine karşı test etmek istemektedir.

Bu amaçla, rastgele seçilen $n=2$ farklı günde aynı saat aralığında gelen vaka sayıları gözlemlenmiş ve $X_1, X_2$ olmak üzere örneklem toplamı $Y = X_1 + X_2$ istatistiği elde edilmiştir.

Test için aşağıdaki rastgeleleştirilmiş (randomized) karar kuralı

\phi(y)

belirlenmiştir:

\phi(y) = \begin{cases} 1, & y \ge 3 \\ 0,5, & y = 2 \\ 0, & y \le 1 \end{cases}

Buna göre, kurgulanan bu testin gücü (power) aşağıdakilerden hangisidir?

1 - 16e^{-6}

1 - 25e^{-6}

1 - 7e^{-6}

1 - 4e^{-2}

16e^{-6}

Show answer & explanation

Answer: $1 - 16e^{-6}$

Answer

1 - 16e^{-6}

Testin gücü, hipotezi reddetme kuralının alternatif hipotez (

H_1

) altındaki beklenen değeri alınarak bulunur.

H_1

koşulunda

\lambda=3

olduğu için iki gözlemin toplamı olan

Y

, ortalaması

2 \cdot 3 = 6

olan bir Poisson dağılımına uyar. Test fonksiyonunun kuralına göre

Y \ge 3

bölgesi %100 oranında ret getirirken (

P(Y \ge 3)

ile değerlendirilir),

Y=2

sınır koşulu %50 oranında ret getirmektedir. Bu olasılıkların

H_1

dağılımı altında beklenen değeri toplandığında

1 - 16e^{-6}

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem toplamı istatistiğinin dağılımını belirle.

X_i \sim \text{Poisson}(\lambda)

bağımsız rassal değişkenler olduğundan, örneklem toplamı

Y = X_1 + X_2 \sim \text{Poisson}(2\lambda)

olur.

Bağımsız Poisson rassal değişkenlerinin toplamı, parametrelerinin toplamına sahip yeni bir Poisson değişkeni oluşturur.

2

Alternatif hipotez altındaki güç fonksiyonunu kurgula.

Testin gücü, test fonksiyonunun

H_1

durumu altındaki beklenen değeridir:

\text{Güç} = E_{\lambda=3}[\phi(Y)]

.

Rastgeleleştirilmiş testlerde güç, tanımlı karar kuralının (ret olasılıklarının) doğru olduğu varsayılan H1 hipotezi altında beklenen değerini ifade eder.

3

H_1

altındaki Poisson dağılımı olasılıklarını hesapla.

H_1: \lambda = 3

iken

Y \sim \text{Poisson}(6)

olur.

P(Y=0) = e^{-6}

,

P(Y=1) = 6e^{-6}

,

P(Y=2) = 18e^{-6}

bulunur. Buradan tam ret bölgesi olasılığı

P(Y \ge 3) = 1 - P(Y \le 2) = 1 - 25e^{-6}

olur.

Test fonksiyonundaki her bir aralığa denk gelen olayların

H_1

altındaki gerçekleşme olasılıklarına ihtiyacımız vardır.

4

Beklenen değeri hesaplayarak test gücünü bul.

\text{Güç} = 1 \cdot P(Y \ge 3) + 0,5 \cdot P(Y=2) + 0 \cdot P(Y \le 1) = (1 - 25e^{-6}) + 0,5 \cdot (18e^{-6}) = 1 - 25e^{-6} + 9e^{-6} = 1 - 16e^{-6}

.

Test istatistiğinin düştüğü bölgeye göre verilen kararların ağırlıklı olasılık toplamı, nihai reddetme olasılığını (testin gücünü) verir.

Key Concept

Rastgeleleştirilmiş testlerde testin gücü ve Poisson dağılımlarının toplamı

Question 17Question →

Kalite kontrol sürecinde, bir makinenin ürettiği parçaların hedef kalınlıktan sapma miktarlarının, ortalaması $0$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılıma ( $N(0, \sigma^2)$ ) uyduğu varsayılmaktadır. Bu kitleye ait $n$ çaplı rastgele bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olsun.

Varyansın belirli bir $\sigma_0^2$ değerinden küçük olup olmadığını incelemek amacıyla,
$H_0: \sigma^2 \geq \sigma_0^2$
$H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$
hipotezleri test edilmek isteniyor.

Buna göre, Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine dayalı olarak $\alpha$ anlamlılık düzeyinde elde edilecek Düzgün En Güçlü (UMP) testin ret bölgesi aşağıdakilerden hangisi biçimindedir?
( $c$ , $\alpha$ 'ya bağlı olarak belirlenen pozitif bir sabittir.)

\sum_{i=1}^n X_i^2 \geq c

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \leq c

\sum_{i=1}^n X_i^2 \leq c

\left| \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\sigma_0^2 \right| \geq c

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \geq c

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i^2 \leq c$

Answer

Doğru ret bölgesi, örneklem değerlerinin kareleri toplamının belirli bir sabitten küçük olmasını gerektiren

\sum_{i=1}^n X_i^2 \leq c

eşitsizliğidir.

Verilen problemde kitle ortalaması

0

olarak kesin bir şekilde bilinmektedir. Bu durumda varyans parametresi

\sigma^2

için yeterli istatistik

T = \sum X_i^2

olarak bulunur. Normal dağılım varyansı için kitle ortalaması bilindiğinde, olabilirlik oranı

T

'ye göre monoton artandır (MLR). Karlin-Rubin teoremine göre, MLR özelliği artan olan bir ailede küçüktür (

<

) yönlü bir alternatif hipotezi (

H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2

) test ederken ret bölgesi yeterli istatistiğin sol kuyruğunda yer alır. Bu nedenle en güçlü test

\sum X_i^2 \leq c

iken

H_0

'ı reddeder.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu ve yeterli istatistiği belirleme

L(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum X_i^2\right)

olduğundan yeterli istatistik

T = \sum X_i^2

olarak bulunur.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği kitle ortalaması (

\mu=0

) bilindiğinde yeterli istatistik

\sum X_i^2

olmaktadır.

2

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) yönünü inceleme

\sigma_2^2 > \sigma_1^2

için olabilirlik oranı (LR) hesaplandığında, oranın

T = \sum X_i^2

istatistiğinin artan bir fonksiyonu olduğu görülür.

Olabilirlik oranındaki üstel terimin katsayısı olan

\frac{1}{2\sigma_1^2} - \frac{1}{2\sigma_2^2}

ifadesi pozitiftir, bu nedenle LR istatistikle birlikte artar.

3

Karlin-Rubin Teoremi'ni uygulayarak ret bölgesini oluşturma

Alternatif hipotez

H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2

yönünde olduğundan, Düzgün En Güçlü testin ret bölgesi

T \leq c

yani

\sum X_i^2 \leq c

şeklindedir.

MLR özelliği

T

'ye göre artan iken, parametrenin küçük olduğu alternatif hipotez durumunda en güçlü test, küçük

T

değerleri için

H_0

'ı reddeder.

Key Concept

Düzgün En Güçlü Testler (Karlin-Rubin Teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı)

Question 18Question →

Bir $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \beta) = \begin{cases} \beta^2 x e^{-\beta x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen $n$ hacimli rastgele bir örneklem temel alınarak, $H_0: \beta = 4$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \beta = 2$ alternatif hipotezi test edilmek isteniyor.

Buna göre, $\alpha$ anlamlılık düzeyinde Neyman-Pearson Lemması'na göre belirlenen en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $\chi^2_{v, \alpha}$ , $v$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımının üst $\alpha$ kritik değerini, yani $P(\chi^2_v \geq \chi^2_{v, \alpha}) = \alpha$ sağlayan değeri göstermektedir.)

\sum_{i=1}^n X_i \geq \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{8}

\sum_{i=1}^n X_i \leq \frac{\chi^2_{4n, 1-\alpha}}{8}

\sum_{i=1}^n X_i \geq \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{4}

\prod_{i=1}^n X_i \geq k

\sum_{i=1}^n X_i \leq \frac{\chi^2_{2n, 1-\alpha}}{8}

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i \geq \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{8}$

Answer

Ret bölgesi toplam gözlem değerlerinin ki-kare dağılımının üst kritik değerinin sekizde birinden büyük veya eşit olduğu bölgedir.

Neyman-Pearson oran testi kurgulandığında negatif üs nedeniyle eşitsizlik yön değiştirerek

\sum X_i \geq c

halini alır.

H_0

hipotezinde

\beta=4

alındığında toplam istatistiği

Gamma(2n, 4)

dağılır. Gamma dağılımlı bir değişkenin kendisini oran parametresinin 2 katı ile (burada

2 \times 4 = 8

) çarpmak onu tam olarak

2 \times 2n = 4n

serbestlik dereceli bir ki-kare değişkenine dönüştürür. Bu yüzden ret bölgesi,

\sum X_i

istatistiğinin üst kritik değer olan

\chi^2_{4n, \alpha}

'nın 8'e bölümünden büyük veya eşit olmasını gerektirir.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu ve olabilirlik oranını (

\Lambda

) yazınız.

L(\beta) = \beta^{2n} (\prod x_i) e^{-\beta \sum x_i}

\Lambda = \frac{L(4)}{L(2)} = \frac{4^{2n} (\prod x_i) e^{-4 \sum x_i}}{2^{2n} (\prod x_i) e^{-2 \sum x_i}} = 2^{2n} e^{-2 \sum x_i} \leq k

Neyman-Pearson Lemması, en güçlü testin ret bölgesinin

L(H_0) / L(H_1) \leq k

eşitsizliği ile bulunduğunu belirtir.

2

Eşitsizliği yeterli istatistik (

\sum X_i

) yalnız kalacak şekilde düzenleyiniz.

e^{-2 \sum x_i} \leq \frac{k}{2^{2n}}

-2 \sum x_i \leq \ln\left(\frac{k}{2^{2n}}\right)

\sum x_i \geq -\frac{1}{2} \ln\left(\frac{k}{2^{2n}}\right) = c

Her iki tarafın doğal logaritmasını alıp negatif bir sayıya (-2) böldüğümüzde eşitsizliğin yönü (

\leq

iken

\geq

olur) değişir.

3

Test istatistiğinin

H_0

altındaki dağılımını bulunuz.

H_0

doğruyken (

\beta=4

),

X_i \sim Gamma(\alpha=2, \beta=4)

olur.
Örneklem toplamı

Y = \sum_{i=1}^n X_i \sim Gamma(2n, 4)

dağılımına sahiptir.

Bağımsız Gamma dağılımlı değişkenlerin toplamı, aynı ölçek parametresine (rate) sahipse şekil (shape) parametrelerinin toplamı ile yeni bir Gamma dağılımı oluşturur.

4

c

kritik değerini

\alpha

anlamlılık düzeyine ve ki-kare dağılımına bağlı olarak elde ediniz.

Gamma'dan ki-kareye dönüşüm kuralına göre

2\beta Y \sim \chi^2_{2\alpha_Y}

dir.

\beta=4

ve

\alpha_Y=2n

olduğundan,

2(4)Y = 8Y \sim \chi^2_{4n}

olur.

P(Y \geq c | H_0) = \alpha

P(8Y \geq 8c) = \alpha

8c = \chi^2_{4n, \alpha} \implies c = \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{8}

Kritik değeri tabloda bulunan standart bir dağılım (ki-kare) cinsinden ifade etmek için dönüşüm kullanılır.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması uyarınca Olabilirlik Oranı ve Gamma-Ki-Kare Dönüşümü

Question 19Question →

Bir

X

rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1

olarak verilmiştir.

Bu dağılımdan alınan tek bir $X$ gözlemi temel alınarak, $\theta$ parametresi için $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezi, $H_1: \theta = 2$ alternatif hipotezine karşı test edilecektir. Belirlenen karar kuralına göre, $X > c$ olduğunda $H_0$ hipotezi reddedilmektedir.

Bu testin anlamlılık düzeyi (I. tip hata olasılığı) $\alpha = 0,20$ olarak belirlendiğine göre, testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

0,04

0,20

0,36

0,64

0,80

Show answer & explanation

Answer: 0,36

Answer

Testin gücü 0,36 olarak hesaplanmıştır.

Testin gücü (Power),

H_1

hipotezi doğruyken

H_0

hipotezinin reddedilme olasılığıdır. İlk olarak anlamlılık düzeyinden (

\alpha

) faydalanarak

c

kritik değeri bulunur:

\alpha = P(X > c \mid \theta = 1) = \int_c^1 1 dx = 1 - c = 0,20

, buradan

c = 0,80

elde edilir. Daha sonra,

H_1

hipotezi (

\theta=2

) altındaki dağılım kullanılarak güç hesaplanır: Güç

= P(X > 0,80 \mid \theta = 2) = \int_{0,80}^1 2x dx = x^2 \Big|_{0,80}^1 = 1^2 - 0,80^2 = 1 - 0,64 = 0,36

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Yokluk hipotezi (H0) altında, verilen alfa değeri için kritik bölge sınırını (c) hesapla.

c = 0,80

Anlamlılık düzeyi (alfa), H0 doğru iken test istatistiğinin kritik bölgeye düşme olasılığıdır. H0 altında f(x; 1) = 1 olduğundan, P(X > c) = 1 - c = 0,20 eşitliğinden c = 0,80 bulunur.

2

Alternatif hipotez (H1) altında, X > 0,80 olma olasılığını hesaplayarak testin gücünü bul.

Testin Gücü = 0,36

Testin gücü, H1 doğru iken H0 hipotezini reddetme olasılığıdır. H1 altında f(x; 2) = 2x olduğundan, güç = integrali (0,80'den 1'e) 2x dx = 1^2 - (0,80)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 olarak hesaplanır.

Key Concept

Testin Gücü (Power of a Test) ve Kritik Bölge

Question 20Question →

Bir trafik planlama uzmanı, belirli bir kavşaktan bir saat içinde geçen ağır vasıta sayısının $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uyduğunu varsaymaktadır. Uzman, $n$ saatlik gözlem sonucunda elde edilen $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini kullanarak $H_0: \lambda = 2$ yokluk hipotezini, $H_1: \lambda = 5$ alternatif hipotezine karşı test etmek istemektedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, bu test için en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisi biçimindedir?
(Burada $c$ , belirlenen anlamlılık düzeyine bağlı uygun bir sabittir.)

\sum_{i=1}^n X_i < c

\sum_{i=1}^n X_i > c

\prod_{i=1}^n X_i > c

\prod_{i=1}^n X_i < c

\left| \sum_{i=1}^n X_i - 2n \right| > c

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i > c$

Answer

Ret bölgesi

\sum_{i=1}^n X_i > c

biçimindedir.

Neyman-Pearson oran testinde ret bölgesi

\frac{L(2)}{L(5)} \leq k

şartıyla bulunur. İfade sadeleştirildiğinde

\left(\frac{2}{5}\right)^{\sum X_i} \leq k^*

elde edilir. Her iki tarafın logaritması alındığında

\sum X_i \ln(2/5) \leq \ln(k^*)

olur.

\ln(2/5)

değeri negatif olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafı bu değere bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek

\sum_{i=1}^n X_i \geq c

biçimine dönüşür. Dolayısıyla en güçlü test, gözlemlerin toplamının belirli bir sabit değerden büyük olması durumunda yokluk hipotezini reddeder.

Step-by-Step Solution

1

Poisson dağılımı için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu yazın.

L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i!}

Neyman-Pearson oranını kurabilmek için örneklemin ortak olasılık fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

Neyman-Pearson Lemması'na göre ret bölgesini tanımlayan oranı

H_0

ve

H_1

için kurun.

Ret bölgesi:

\frac{L(\lambda_0 = 2)}{L(\lambda_1 = 5)} \leq k

olmalıdır.

En güçlü test, yokluk hipotezi altındaki olabilirliğin alternatif hipotez altındaki olabilirliğe oranının yeterince küçük olduğu durumlarda

H_0

'ı reddeder.

3

Oranı verilen parametre değerleri ile hesaplayıp sadeleştirin.

\frac{e^{-2n} 2^{\sum x_i}}{e^{-5n} 5^{\sum x_i}} = e^{3n} \left(\frac{2}{5}\right)^{\sum x_i} \leq k

Eşitsizliği gözlem değerlerinin bir fonksiyonu (istatistik) cinsinden ifade etmek için matematiksel sadeleştirme yapılır.

4

Elde edilen eşitsizliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak

\sum x_i

istatistiğini yalnız bırakın.

3n + \left(\sum x_i\right) \ln(0.4) \leq \ln(k)

\left(\sum x_i\right) \ln(0.4) \leq \ln(k) - 3n

Üstel ifadeden kurtulup yeterli istatistik olan

\sum x_i

'yi doğrusal bir formda elde etmek için logaritma işlemi uygulanır.

5

Eşitsizliği

\ln(0.4)

değerine bölün ve eşitsizlik yönüne dikkat edin.

\ln(0.4) < 0

olduğundan eşitsizlik yön değiştirir:

\sum x_i \geq \frac{\ln(k) - 3n}{\ln(0.4)}

. Sağ taraf yeni bir

c

sabiti olarak tanımlanırsa ret bölgesi

\sum_{i=1}^n X_i > c

(veya

\geq c

) olur.

Negatif bir sayıya bölme işlemi eşitsizlik yönünü tersine çevirir. Bu, ret bölgesinin yönünü belirleyen en kritik adımdır.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması uyarınca olabilirlik oranı ve eşitsizlik yönünün tayini.

Hipotez Testleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution