Examkin

Question

Difficulty: MediumNeyman-Pearson Lemması

Bir elektronik parça üretim hattında, üretilen parçaların kusurlu olma olasılığı pp'dir. Kusurlu parçalar X=1X=1, sağlam parçalar X=0X=0 ile gösterilmek üzere, nn hacimli rastgele bir örneklem alınıyor (Xi∼Bernoulli(p)X_i \sim \text{Bernoulli}(p)).

Kalite kontrol mühendisi, üretim sürecinde hata oranının artıp artmadığını kontrol etmek için;
H0:p=p0H_0: p = p_0
H1:p=p1H_1: p = p_1 (Burada p1>p0p_1 > p_0'dır)

basit hipotezlerini test etmek istiyor.

Neyman-Pearson Lemması kullanılarak α\alpha anlamlılık düzeyinde oluşturulacak en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölge), örneklem ortalaması (Xˉ\bar{X}) cinsinden aşağıdakilerden hangisidir? (cc, α\alpha anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabiti göstermektedir.)

  1. Xˉ≥c\bar{X} \geq cAnswer
  2. B
    Xˉ≤c\bar{X} \leq c
  3. C
    ∣Xˉ−p0∣≥c|\bar{X} - p_0| \geq c
  4. D
    Xˉ(1−Xˉ)≥c\bar{X}(1-\bar{X}) \geq c
  5. E
    ∑i=1n(Xi−Xˉ)2≥c\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \geq c

Answer

Testin ret bölgesi, örneklem ortalamasının belirli bir sabit değerden büyük veya eşit olması durumudur (Xˉ≥c\bar{X} \geq c).
Neyman-Pearson Lemması'na göre ret bölgesi L(H0)/L(H1)≤kL(H_0)/L(H_1) \leq k eşitsizliğinden elde edilir. Bernoulli dağılımı için olabilirlik oranı yazılıp logaritması alındığında, p1>p0p_1 > p_0 varsayımı altında yeterli istatistik olan ∑Xi\sum X_i'nin önündeki çarpan negatif çıkmaktadır. Eşitsizliğin her iki tarafı bu negatif değere bölündüğünde eşitsizliğin yönü tersine döner ve ∑Xi≥c′\sum X_i \geq c' sonucuna ulaşılır. ∑Xi=nXˉ\sum X_i = n\bar{X} yerine konulduğunda ret bölgesinin Xˉ≥c\bar{X} \geq c olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.
L(p)=∏i=1npXi(1−p)1−Xi=p∑Xi(1−p)n−∑XiL(p) = \prod_{i=1}^n p^{X_i} (1-p)^{1-X_i} = p^{\sum X_i} (1-p)^{n-\sum X_i}
Neyman-Pearson Lemması olabilirlik oranı testini temel alır.
2
Neyman-Pearson olabilirlik oranını (LR) yazmak ve kk sabiti ile eşitsizlik kurmak.
L(p0)L(p1)=(p0p1)∑Xi(1−p01−p1)n−∑Xi=(p0(1−p1)p1(1−p0))∑Xi(1−p01−p1)n≤k\frac{L(p_0)}{L(p_1)} = \left( \frac{p_0}{p_1} \right)^{\sum X_i} \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right)^{n-\sum X_i} = \left( \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} \right)^{\sum X_i} \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right)^n \leq k
En güçlü (MP) test ret bölgesi, H0H_0 altındaki olabilirliğin H1H_1 altındaki olabilirliğe oranının belirli bir kk sabitinden küçük veya eşit olması koşuluna dayanır.
3
Eşitsizliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak ∑Xi\sum X_i'yi yalnız bırakmaya çalışmak.
(∑Xi)ln⁡(p0(1−p1)p1(1−p0))+nln⁡(1−p01−p1)≤ln⁡k(\sum X_i) \ln \left( \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} \right) + n \ln \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right) \leq \ln k
Üstel ifadeyi doğrusal hale getirerek yeterli istatistiği (∑Xi\sum X_i) denklemden ayrıştırmak.
4
Eşitsizliğin yönünü belirlemek üzere ∑Xi\sum X_i'nin katsayısının işaretini incelemek.
p1>p0p_1 > p_0 olduğu için p0(1−p1)p1(1−p0)<1\frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} < 1'dir. Dolayısıyla bu ifadenin logaritması negatiftir. Eşitsizlik negatif katsayıya bölündüğünde yön değiştirir: ∑Xi≥c′\sum X_i \geq c'
Negatif bir değere bölme veya negatif bir değerle çarpma işlemi matemetiksel olarak eşitsizliğin yönünü tersine çevirir.
5
Test istatistiğini örneklem ortalamasına (Xˉ\bar{X}) dönüştürmek.
∑Xi=nXˉ\sum X_i = n\bar{X} olduğundan ifade Xˉ≥c′n=c\bar{X} \geq \frac{c'}{n} = c halini alır.
Soruda ret bölgesinin örneklem ortalaması (Xˉ\bar{X}) cinsinden ifade edilmesi istenmektedir.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması ve En Güçlü (MP) Test
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Neyman-Pearson Lemması

More questions from this topic