Examkin

Question

Difficulty: HardSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir veri işleme merkezinde, gelen veri paketleri kapasitesi en fazla 3 paket olan bir tampon bellekte (buffer) tutulmaktadır. Sistemdeki paket sayısına bağlı olarak geliş ve işlenme hızları değişmektedir.

Sistemdeki paket sayısı nn (n=0,1,2,3n = 0, 1, 2, 3) olmak üzere;
- Sisteme yeni paket gelişleri Poisson sürecine uygun olup, geliş hızları sırasıyla λ0=4\lambda_0 = 4, λ1=3\lambda_1 = 3 ve λ2=2\lambda_2 = 2 paket/milisaniye olarak verilmiştir (λ3=0\lambda_3 = 0).
- Paketlerin işlenme süreleri üstel dağılıma sahip olup, işlenme hızları sırasıyla μ1=1\mu_1 = 1, μ2=2\mu_2 = 2 ve μ3=4\mu_3 = 4 paket/milisaniye şeklindedir (μ0=0\mu_0 = 0).

Buna göre, sistem uzun dönem dengede (kararlı durumda) iken, tampon belleğin tamamen dolu olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    114\frac{1}{14}
  2. B
    421\frac{4}{21}
  3. 314\frac{3}{14}Answer
  4. D
    27\frac{2}{7}
  5. E
    12\frac{1}{2}

Answer

Sistemin tamamen dolu olma olasılığı 314\frac{3}{14}'tür.
Sistem, durum uzayı S={0,1,2,3}S = \{0, 1, 2, 3\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellenebilir. Kararlı durumda her ardışık durum çifti için denge denklemleri πnμn=πn−1λn−1\pi_n \mu_n = \pi_{n-1} \lambda_{n-1} olarak kurulur. Verilen hız değerleri yerine konulduğunda olasılıklar π0\pi_0 cinsinden ifade edilebilir: π1=4π0\pi_1 = 4\pi_0, π2=6π0\pi_2 = 6\pi_0 ve π3=3π0\pi_3 = 3\pi_0. Toplam olasılığın 1 olma koşulu uygulandığında, π0(1+4+6+3)=1\pi_0(1 + 4 + 6 + 3) = 1 eşitliğinden π0=1/14\pi_0 = 1/14 elde edilir. Bizden tampon belleğin tam dolu olduğu n=3n=3 durumu istendiği için π3=3π0=3/14\pi_3 = 3\pi_0 = 3/14 olarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Doğum-ölüm süreci için kararlı durum (dengede) denklemlerini yazın.
Genel formül: πnμn=πn−1λn−1\pi_n \mu_n = \pi_{n-1} \lambda_{n-1} (n=1,2,3n = 1, 2, 3)
Sistem uzun dönemde dengeye ulaştığında, ardışık durumlar arasındaki geçiş hızları birbirine eşitlenmelidir.
2
Tüm durum olasılıklarını π0\pi_0 cinsinden ifade edin.
π1=λ0μ1π0=41π0=4π0\pi_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0 = \frac{4}{1}\pi_0 = 4\pi_0
π2=λ1μ2π1=32(4π0)=6π0\pi_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2}\pi_1 = \frac{3}{2}(4\pi_0) = 6\pi_0
π3=λ2μ3π2=24(6π0)=3π0\pi_3 = \frac{\lambda_2}{\mu_3}\pi_2 = \frac{2}{4}(6\pi_0) = 3\pi_0
Olasılıkları tek bir bilinmeyene (π0\pi_0) indirgemek, toplam olasılık şartını kullanarak çözüme gitmeyi sağlar.
3
Toplam olasılığın 1'e eşit olması şartını kullanarak π0\pi_0 değerini bulun.
∑i=03πi=1  ⟹  π0+4π0+6π0+3π0=1  ⟹  14π0=1  ⟹  π0=114\sum_{i=0}^{3} \pi_i = 1 \implies \pi_0 + 4\pi_0 + 6\pi_0 + 3\pi_0 = 1 \implies 14\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{1}{14}
Bir sistemin alabileceği tüm olası durumların (0, 1, 2 ve 3) olasılıklarının toplamı mutlaka 1 olmak zorundadır.
4
Tamamen dolu olma (n=3) durumunun olasılığını hesaplayın.
π3=3π0=3×114=314\pi_3 = 3\pi_0 = 3 \times \frac{1}{14} = \frac{3}{14}
Soruda kapasitenin tamamen dolduğu, yani tampon bellekte 3 paketin bulunduğu durumun olasılığı istenmektedir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde (CTMC) Doğum-Ölüm Süreçleri ve Kararlı Durum Olasılıkları
Rate this question

Topics

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

More questions from this topic