Examkin

Question

Difficulty: HardSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Devlete ait bir gümrük limanında, aynı anda en fazla 22 geminin yanaşabileceği bir rıhtım bulunmaktadır. Limana gemi gelişleri, günde ortalama 33 gemi olacak şekilde Poisson sürecine uygun olarak gerçekleşmektedir. Rıhtımdaki her bir yanaşma peronunun bir gemiye verdiği hizmet süresi ise, günde ortalama 22 gemiye hizmet verilecek şekilde üstel dağılıma sahiptir.

Rıhtım tam kapasite dolu olduğunda, limana yeni gelen gemiler sisteme alınmadan (bekleme yapmadan) doğrudan başka bir limana yönlendirilmektedir.

Buna göre, bu liman sisteminin uzun dönemde (kararlı durumda) tam kapasite dolu olma (gelen gemilerin yönlendirilme) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    829\frac{8}{29}
  2. B
    310\frac{3}{10}
  3. C
    1229\frac{12}{29}
  4. 929\frac{9}{29}Answer
  5. E
    919\frac{9}{19}

Answer

Doğru cevap 929\frac{9}{29} olasılığıdır.
Sistem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak tasarlandığında, denge denklemleri kesit prensibine göre çözülür. μ2=4\mu_2 = 4 olduğu dikkate alınarak olasılıklar π0\pi_0 cinsinden ifade edildiğinde, limanın tam kapasite çalışma olasılığı olan π2\pi_2, tüm durumların ağırlıklı toplamına oranlanarak 929\frac{9}{29} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Sistemi durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modelleyin.
Durum sayısı limandaki gemi sayısını ifade eder. Sistem tam kapasiteye ulaştığında (22 gemi) yeni gelenler geri çevrildiği için durum uzayı 22 ile sınırlıdır.
Kapasite kısıtı olan sistemlerde Markov zinciri sonlu durum uzayına sahip bir doğum-ölüm süreci (Erlang B kayıp modeli) oluşturur.
2
Her durum için doğum (geliş) ve ölüm (hizmet) hızlarını belirleyin.
Geliş hızları: λ0=3\lambda_0 = 3, λ1=3\lambda_1 = 3. Hizmet hızları: μ1=2\mu_1 = 2 ve her iki peron aynı anda hizmet verdiğinde μ2=2×2=4\mu_2 = 2 \times 2 = 4.
Hizmet hızı, sistemdeki gemi sayısına (aktif sunucu sayısına) bağlı olarak artar. İki gemi varken sistemden çıkış hızı iki katına çıkar.
3
Kararlı durum (steady-state) için denge denklemlerini (πnλn=πn+1μn+1\pi_{n} \lambda_n = \pi_{n+1} \mu_{n+1}) kurun.
Durum 0-1 arası: 3π0=2π1  ⟹  π1=32π03\pi_0 = 2\pi_1 \implies \pi_1 = \frac{3}{2}\pi_0. Durum 1-2 arası: 3π1=4π2  ⟹  π2=34π13\pi_1 = 4\pi_2 \implies \pi_2 = \frac{3}{4}\pi_1. π2\pi_2'yi π0\pi_0 cinsinden yazarsak: π2=34(32π0)=98π0\pi_2 = \frac{3}{4}(\frac{3}{2}\pi_0) = \frac{9}{8}\pi_0.
Uzun dönemde herhangi bir nn durumundan n+1n+1 durumuna geçiş hızı, n+1n+1 durumundan nn durumuna geri dönüş hızına eşit olmalıdır.
4
Olasılıkların toplamının 11 olması kuralını kullanarak π0\pi_0 ve ardından istenen π2\pi_2 olasılığını hesaplayın.
π0+π1+π2=1  ⟹  π0(1+128+98)=1  ⟹  π0(298)=1  ⟹  π0=829\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 (1 + \frac{12}{8} + \frac{9}{8}) = 1 \implies \pi_0 (\frac{29}{8}) = 1 \implies \pi_0 = \frac{8}{29}. Buradan π2=98×829=929\pi_2 = \frac{9}{8} \times \frac{8}{29} = \frac{9}{29} bulunur.
Sistem uzun dönemde mutlaka bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Erlang Kayıp Modeli
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

More questions from this topic