Examkin

Question

Difficulty: MediumSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir bakanlığın Elektronik Belge Yönetim Sistemi'nde (EBYS), e-imza onayı bekleyen acil belgelerin sayısı, durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci olarak modellenmektedir.

Sisteme yeni belge geliş oranları durum sayısına göre sırasıyla λ0=4\lambda_0 = 4 belge/saat ve λ1=2\lambda_1 = 2 belge/saat olarak belirlenmiştir. Onay makamının belgeleri inceleyip sistemden düşme (hizmet) oranları ise sistemdeki belge sayısına bağlı olarak μ1=3\mu_1 = 3 belge/saat ve μ2=4\mu_2 = 4 belge/saat şeklindedir. Sistem en fazla 22 acil belgeyi bekletebilmektedir (λ2=0\lambda_2 = 0).

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) sistemde hiç e-imza onayı bekleyen belge bulunmama olasılığı (P0P_0) kaçtır?

  1. 13\frac{1}{3}Answer
  2. B
    413\frac{4}{13}
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    29\frac{2}{9}
  5. E
    937\frac{9}{37}

Answer

Kararlı durumda sistemde hiç belge bulunmama olasılığı 13\frac{1}{3}'tür.
Doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum (steady-state) olasılıkları, ardışık durumlar arasındaki geçiş oranlarının dengelenmesi prensibine dayanır. P1=λ0μ1P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 ve P2=λ1μ2P1P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 eşitlikleri kurularak tüm durumlar P0P_0 cinsinden ifade edilir. Bulunan P1=43P0P_1 = \frac{4}{3} P_0 ve P2=23P0P_2 = \frac{2}{3} P_0 değerleri, ∑Pi=1\sum P_i = 1 şartında yerine konulduğunda P0(1+43+23)=1P_0(1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3}) = 1 denklemi elde edilir. Buradan sistemin boş olma olasılığı P0=13P_0 = \frac{1}{3} olarak doğru şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Denge denklemlerini (balance equations) kurma
Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1} formülü ile durumlar arası ilişkiler tanımlanır.
Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum olasılıklarını birbirine bağlamak için gereklidir.
2
P1P_1 ve P2P_2'yi P0P_0 cinsinden ifade etme
P1=43P0P_1 = \frac{4}{3} P_0 ve P2=24P1=12(43P0)=23P0P_2 = \frac{2}{4} P_1 = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} P_0) = \frac{2}{3} P_0 bulunur.
Tüm olasılıkları tek bir bilinmeyen (P0P_0) üzerinden yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek içindir.
3
Toplam olasılık kuralını uygulama
P0+P1+P2=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 denkleminde değerler yerine konur: P0+43P0+23P0=1P_0 + \frac{4}{3} P_0 + \frac{2}{3} P_0 = 1.
Sistemin herhangi bir durumda bulunma olasılıklarının toplamı kesinlikle 1 olmalıdır.
4
P0P_0 değerini çözme
P0(1+63)=1  ⟹  3P0=1  ⟹  P0=13P_0 (1 + \frac{6}{3}) = 1 \implies 3 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{3} olarak hesaplanır.
Sistemin boş olduğu (hiç belge bulunmayan) durumun nihai olasılığına ulaşmak içindir.

Key Concept

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

More questions from this topic