Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir veri işleme merkezinde, gelen veri paketleri kapasitesi en fazla 3 paket olan bir tampon bellekte (buffer) tutulmaktadır. Sistemdeki paket sayısına bağlı olarak geliş ve işlenme hızları değişmektedir.

Sistemdeki paket sayısı $n$ ( $n = 0, 1, 2, 3$ ) olmak üzere;
- Sisteme yeni paket gelişleri Poisson sürecine uygun olup, geliş hızları sırasıyla $\lambda_0 = 4$ , $\lambda_1 = 3$ ve $\lambda_2 = 2$ paket/milisaniye olarak verilmiştir ( $\lambda_3 = 0$ ).
- Paketlerin işlenme süreleri üstel dağılıma sahip olup, işlenme hızları sırasıyla $\mu_1 = 1$ , $\mu_2 = 2$ ve $\mu_3 = 4$ paket/milisaniye şeklindedir ( $\mu_0 = 0$ ).

Buna göre, sistem uzun dönem dengede (kararlı durumda) iken, tampon belleğin tamamen dolu olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{14}

\frac{4}{21}

\frac{3}{14}

\frac{2}{7}

\frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{14}$

Answer

Sistemin tamamen dolu olma olasılığı

\frac{3}{14}

'tür.

Sistem, durum uzayı

S = \{0, 1, 2, 3\}

olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellenebilir. Kararlı durumda her ardışık durum çifti için denge denklemleri

\pi_n \mu_n = \pi_{n-1} \lambda_{n-1}

olarak kurulur. Verilen hız değerleri yerine konulduğunda olasılıklar

\pi_0

cinsinden ifade edilebilir:

\pi_1 = 4\pi_0

,

\pi_2 = 6\pi_0

ve

\pi_3 = 3\pi_0

. Toplam olasılığın 1 olma koşulu uygulandığında,

\pi_0(1 + 4 + 6 + 3) = 1

eşitliğinden

\pi_0 = 1/14

elde edilir. Bizden tampon belleğin tam dolu olduğu

n=3

durumu istendiği için

\pi_3 = 3\pi_0 = 3/14

olarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Doğum-ölüm süreci için kararlı durum (dengede) denklemlerini yazın.

Genel formül:

\pi_n \mu_n = \pi_{n-1} \lambda_{n-1}

(

n = 1, 2, 3

)

Sistem uzun dönemde dengeye ulaştığında, ardışık durumlar arasındaki geçiş hızları birbirine eşitlenmelidir.

2

Tüm durum olasılıklarını

\pi_0

cinsinden ifade edin.

\pi_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0 = \frac{4}{1}\pi_0 = 4\pi_0

\pi_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2}\pi_1 = \frac{3}{2}(4\pi_0) = 6\pi_0

\pi_3 = \frac{\lambda_2}{\mu_3}\pi_2 = \frac{2}{4}(6\pi_0) = 3\pi_0

Olasılıkları tek bir bilinmeyene (

\pi_0

) indirgemek, toplam olasılık şartını kullanarak çözüme gitmeyi sağlar.

3

Toplam olasılığın 1'e eşit olması şartını kullanarak

\pi_0

değerini bulun.

\sum_{i=0}^{3} \pi_i = 1 \implies \pi_0 + 4\pi_0 + 6\pi_0 + 3\pi_0 = 1 \implies 14\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{1}{14}

Bir sistemin alabileceği tüm olası durumların (0, 1, 2 ve 3) olasılıklarının toplamı mutlaka 1 olmak zorundadır.

4

Tamamen dolu olma (n=3) durumunun olasılığını hesaplayın.

\pi_3 = 3\pi_0 = 3 \times \frac{1}{14} = \frac{3}{14}

Soruda kapasitenin tamamen dolduğu, yani tampon bellekte 3 paketin bulunduğu durumun olasılığı istenmektedir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde (CTMC) Doğum-Ölüm Süreçleri ve Kararlı Durum Olasılıkları

Question 2Question →

Bir laboratuvar ortamında gözlemlenen özel bir hücre popülasyonu, durum uzayı $S = \{0, 1, 2, \dots\}$ olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci ile modellenmektedir. Sistemde $n$ adet hücre bulunduğu anda;

- Yeni bir hücrenin üreme (doğum) hızı: $\lambda_n = \frac{n+2}{n+1} \lambda \quad (n \ge 0)$
- Mevcut bir hücrenin yok olma (ölüm) hızı: $\mu_n = \frac{n}{n+1} \mu \quad (n \ge 1)$

şeklinde tanımlanmıştır (burada $\lambda, \mu > 0$ sabitlerdir).

Sistemin kararlı duruma (steady-state) ulaşabilmesi için $\lambda < \mu$ koşulu sağlandığına ve $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$ olduğuna göre, kararlı durumda sistemde hiç hücre bulunmama olasılığı ( $P_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}

1-\rho

(1-\rho)^2

\frac{1+\rho}{(1-\rho)^3}

(1-\rho)^3

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}$

Answer

Sistemde hiç hücre bulunmama olasılığı

P_0 = \frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}

formülü ile ifade edilir.

Doğru yanıt olan

\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}

ifadesi, duruma bağlı karmaşık geçiş hızlarına sahip doğum-ölüm sürecinin tam analitik çözümüdür. Doğum oranının

\lambda_i

, ölüm oranının

\mu_{i+1}

olduğu denge denkleminde

\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} = \rho \frac{(i+2)^2}{(i+1)^2}

oranı elde edilir. Bu oranın

i=0

'dan

n-1

'e kadar ardışık çarpımı

P_n = P_0(n+1)^2\rho^n

sonucunu verir.

\sum P_n = 1

eşitliğinden

\sum_{n=0}^\infty (n+1)^2\rho^n

sonsuz serisinin hesaplanması gerekir. Geometrik serinin ardışık türevleriyle bu toplam

\frac{1+\rho}{(1-\rho)^3}

olarak bulunur. Ters çevrildiğinde

P_0

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Doğum-ölüm süreçleri için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini yazın.

P_n = P_0 \prod_{i=0}^{n-1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} \quad (n \ge 1)

Sürekli zamanlı bir Markov zincirinde her bir durum için giriş ve çıkış hızlarının eşitliğinden elde edilen genel çözüm formülüdür.

2

Verilen

\lambda_i

ve

\mu_{i+1}

ifadelerini çarpım formülünde yerine koyun ve sadeleştirin.

\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} = \frac{\frac{i+2}{i+1}\lambda}{\frac{i+1}{i+2}\mu} = \left(\frac{i+2}{i+1}\right)^2 \rho

. Çarpım sonucunda ardışık terimler birbirini götürür ve

P_n = P_0 (n+1)^2 \rho^n

elde edilir.

Hızların birbirine oranı karesel bir artış sergilemektedir; bu oranların çarpımı baştaki ve sondaki terimler haricinde sadeleşmeyi sağlar.

3

Toplam olasılık kuralını (

\sum_{n=0}^\infty P_n = 1

) uygulayarak seri toplamını oluşturun.

P_0 \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \rho^n = 1

Sistemin herhangi bir durumda bulunma olasılıklarının toplamı 1'e eşit olmalıdır.

4

\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}

temel geometrik serisinden faydalanarak

S = \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \rho^n

toplamını hesaplayın.

Temel serinin iki kez ardışık türevi alınıp düzenlendiğinde

S = \frac{1+\rho}{(1-\rho)^3}

bulunur.

İçinde polinomiyel çarpan

(n+1)^2

barındıran serilerin toplamı, üretici fonksiyonların (generating functions) türevleri yardımıyla analitik olarak hesaplanabilir.

5

P_0 \cdot S = 1

eşitliğinden

P_0

'ı yalnız bırakın.

P_0 = \frac{1}{S} = \frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}

Kararlı durumda boş kalma olasılığı, serinin toplam değerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Denge Denklemleri ve Olasılık Üretici Fonksiyonlar

Question 3Question →

Devlete ait bir gümrük limanında, aynı anda en fazla $2$ geminin yanaşabileceği bir rıhtım bulunmaktadır. Limana gemi gelişleri, günde ortalama $3$ gemi olacak şekilde Poisson sürecine uygun olarak gerçekleşmektedir. Rıhtımdaki her bir yanaşma peronunun bir gemiye verdiği hizmet süresi ise, günde ortalama $2$ gemiye hizmet verilecek şekilde üstel dağılıma sahiptir.

Rıhtım tam kapasite dolu olduğunda, limana yeni gelen gemiler sisteme alınmadan (bekleme yapmadan) doğrudan başka bir limana yönlendirilmektedir.

Buna göre, bu liman sisteminin uzun dönemde (kararlı durumda) tam kapasite dolu olma (gelen gemilerin yönlendirilme) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{8}{29}

\frac{3}{10}

\frac{12}{29}

\frac{9}{29}

\frac{9}{19}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{29}$

Answer

Doğru cevap

\frac{9}{29}

olasılığıdır.

Sistem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak tasarlandığında, denge denklemleri kesit prensibine göre çözülür.

\mu_2 = 4

olduğu dikkate alınarak olasılıklar

\pi_0

cinsinden ifade edildiğinde, limanın tam kapasite çalışma olasılığı olan

\pi_2

, tüm durumların ağırlıklı toplamına oranlanarak

\frac{9}{29}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sistemi durum uzayı

S = \{0, 1, 2\}

olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modelleyin.

Durum sayısı limandaki gemi sayısını ifade eder. Sistem tam kapasiteye ulaştığında (

2

gemi) yeni gelenler geri çevrildiği için durum uzayı

2

ile sınırlıdır.

Kapasite kısıtı olan sistemlerde Markov zinciri sonlu durum uzayına sahip bir doğum-ölüm süreci (Erlang B kayıp modeli) oluşturur.

2

Her durum için doğum (geliş) ve ölüm (hizmet) hızlarını belirleyin.

Geliş hızları:

\lambda_0 = 3

,

\lambda_1 = 3

. Hizmet hızları:

\mu_1 = 2

ve her iki peron aynı anda hizmet verdiğinde

\mu_2 = 2 \times 2 = 4

.

Hizmet hızı, sistemdeki gemi sayısına (aktif sunucu sayısına) bağlı olarak artar. İki gemi varken sistemden çıkış hızı iki katına çıkar.

3

Kararlı durum (steady-state) için denge denklemlerini (

\pi_{n} \lambda_n = \pi_{n+1} \mu_{n+1}

) kurun.

Durum 0-1 arası:

3\pi_0 = 2\pi_1 \implies \pi_1 = \frac{3}{2}\pi_0

. Durum 1-2 arası:

3\pi_1 = 4\pi_2 \implies \pi_2 = \frac{3}{4}\pi_1

.

\pi_2

'yi

\pi_0

cinsinden yazarsak:

\pi_2 = \frac{3}{4}(\frac{3}{2}\pi_0) = \frac{9}{8}\pi_0

.

Uzun dönemde herhangi bir

n

durumundan

n+1

durumuna geçiş hızı,

n+1

durumundan

n

durumuna geri dönüş hızına eşit olmalıdır.

4

Olasılıkların toplamının

1

olması kuralını kullanarak

\pi_0

ve ardından istenen

\pi_2

olasılığını hesaplayın.

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 (1 + \frac{12}{8} + \frac{9}{8}) = 1 \implies \pi_0 (\frac{29}{8}) = 1 \implies \pi_0 = \frac{8}{29}

. Buradan

\pi_2 = \frac{9}{8} \times \frac{8}{29} = \frac{9}{29}

bulunur.

Sistem uzun dönemde mutlaka bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Erlang Kayıp Modeli

Estimated Time:2m 30s

Question 4Question →

Bir bakanlığın Elektronik Belge Yönetim Sistemi'nde (EBYS), e-imza onayı bekleyen acil belgelerin sayısı, durum uzayı $S = \{0, 1, 2\}$ olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci olarak modellenmektedir.

Sisteme yeni belge geliş oranları durum sayısına göre sırasıyla $\lambda_0 = 4$ belge/saat ve $\lambda_1 = 2$ belge/saat olarak belirlenmiştir. Onay makamının belgeleri inceleyip sistemden düşme (hizmet) oranları ise sistemdeki belge sayısına bağlı olarak $\mu_1 = 3$ belge/saat ve $\mu_2 = 4$ belge/saat şeklindedir. Sistem en fazla $2$ acil belgeyi bekletebilmektedir ( $\lambda_2 = 0$ ).

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) sistemde hiç e-imza onayı bekleyen belge bulunmama olasılığı ( $P_0$ ) kaçtır?

\frac{1}{3}

\frac{4}{13}

\frac{1}{2}

\frac{2}{9}

\frac{9}{37}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{3}$

Answer

Kararlı durumda sistemde hiç belge bulunmama olasılığı

\frac{1}{3}

'tür.

Doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum (steady-state) olasılıkları, ardışık durumlar arasındaki geçiş oranlarının dengelenmesi prensibine dayanır.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0

ve

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1

eşitlikleri kurularak tüm durumlar

P_0

cinsinden ifade edilir. Bulunan

P_1 = \frac{4}{3} P_0

ve

P_2 = \frac{2}{3} P_0

değerleri,

\sum P_i = 1

şartında yerine konulduğunda

P_0(1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3}) = 1

denklemi elde edilir. Buradan sistemin boş olma olasılığı

P_0 = \frac{1}{3}

olarak doğru şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Denge denklemlerini (balance equations) kurma

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

formülü ile durumlar arası ilişkiler tanımlanır.

Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum olasılıklarını birbirine bağlamak için gereklidir.

2

P_1

ve

P_2

'yi

P_0

cinsinden ifade etme

P_1 = \frac{4}{3} P_0

ve

P_2 = \frac{2}{4} P_1 = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} P_0) = \frac{2}{3} P_0

bulunur.

Tüm olasılıkları tek bir bilinmeyen (

P_0

) üzerinden yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek içindir.

3

Toplam olasılık kuralını uygulama

P_0 + P_1 + P_2 = 1

denkleminde değerler yerine konur:

P_0 + \frac{4}{3} P_0 + \frac{2}{3} P_0 = 1

.

Sistemin herhangi bir durumda bulunma olasılıklarının toplamı kesinlikle 1 olmalıdır.

4

P_0

değerini çözme

P_0 (1 + \frac{6}{3}) = 1 \implies 3 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{3}

olarak hesaplanır.

Sistemin boş olduğu (hiç belge bulunmayan) durumun nihai olasılığına ulaşmak içindir.

Key Concept

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Estimated Time:1m 30s

Question 5Question →

Bir uluslararası havalimanının gümrük kontrol noktasında, yolcu bagajlarını inceleyen x-ray cihazlarının aktif çalışma durumu, $S = \{0, 1, 2\}$ durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci (doğum-ölüm süreci) olarak modellenmiştir. Burada durumlar, o an aktif olarak çalışan cihaz sayısını ifade etmektedir.

Sistemin sonsuz küçüklükteki geçiş oranları matrisi (Q-matrisi), saat cinsinden aşağıdaki gibi verilmiştir:

Q = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 3 & -8 & 5 \\ 0 & 6 & -6 \end{bmatrix}

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, gümrük noktasında hiçbir cihazın çalışmadığı (durum 0) zamanın oransal beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{20}{53}

\frac{1}{3}

\frac{9}{31}

\frac{10}{31}

\frac{2}{9}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{31}$

Answer

Sistem uzun dönem kararlı duruma ulaştığında, hiçbir cihazın çalışmadığı zamanın oransal beklenen değeri

\frac{9}{31}

'dir.

Sürekli zamanlı bir Markov sürecinde (CTMC) kararlı durum olasılıkları,

\pi Q = 0

ve

\sum \pi_i = 1

denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Q matrisinin sütunları üzerinden denge denklemleri yazıldığında; 0. sütun için

-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0

, dolayısıyla

\pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0

olur. 2. sütun için

5\pi_1 - 6\pi_2 = 0

, buradan

\pi_2 = \frac{5}{6}\pi_1 = \frac{10}{9}\pi_0

elde edilir. Toplam olasılık

\pi_0 (1 + \frac{12}{9} + \frac{10}{9}) = 1

denkleminden

\pi_0 = \frac{9}{31}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sürekli zamanlı Chapman-Kolmogorov (Kolmogorov ileri) denklemlerinin limit durumu olan global denge denklemlerinin (

\pi Q = 0

) yazılması

-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0 \implies \pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0

ve

5\pi_1 - 6\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{5}{6}\pi_1 = \frac{5}{6}\left(\frac{4}{3}\pi_0\right) = \frac{10}{9}\pi_0

eşitlikleri elde edilir.

Kararlı durum (steady-state) olasılık vektörü

\pi = [\pi_0, \pi_1, \pi_2]

, Q-matrisinin sol özvektörü olarak

\pi Q = 0

şartını sağlamak zorundadır.

2

Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) şartının uygulanması

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 + \frac{12}{9}\pi_0 + \frac{10}{9}\pi_0 = 1 \implies \frac{31}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{9}{31}

bulunur.

Sistem her an bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır, dolayısıyla tüm durumların kararlı durum olasılıkları toplamı kesinlikle 1 olmalıdır.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları ve Q-Matrisi

Question 6Question →

Bir e-Devlet veri merkezinde, vatandaşların işlemlerini yürüten ana sunucuların durumu sürekli zamanlı bir Markov zinciri (CTMC) olarak modellenmiştir. $X(t)$ rastgele değişkeni, $t$ anında sistemde bulunan arızalı sunucu sayısını göstermektedir. Sistemin kapasitesine göre arızalı sunucu sayısı en fazla $2$ olabilmektedir ve bu nedenle durum uzayı $S = \{0, 1, 2\}$ olarak belirlenmiştir.

Bu sisteme ait geçiş oranları matrisi (infinitesimal generator, $Q$ ) saat cinsinden aşağıdaki gibi verilmiştir:

Q = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & 2 \\ 0 & 6 & -6 \end{bmatrix}

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, sistemde tam olarak $1$ adet arızalı sunucu bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0

\frac{1}{5}

\frac{1}{3}

\frac{12}{25}

\frac{3}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{12}{25}$

Answer

Sistemde tam olarak 1 adet arızalı sunucu bulunma olasılığı

\frac{12}{25}

'tir.

Sistem kararlı durumda

\pi Q = 0

dengesini sağlar. Durum olasılıklarını

\pi_0

cinsinden yazarsak, birinci sütun denkleminden

\pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0

ve üçüncü sütun denkleminden

\pi_2 = \frac{4}{9}\pi_0

elde edilir. Bu olasılıkların toplamı 1'e eşitlendiğinde

25\pi_0 / 9 = 1

eşitliğinden

\pi_0 = \frac{9}{25}

bulunur. Bizden istenen 1 arızalı sunucu durumunun olasılığı ise

\pi_1 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kararlı durum (steady-state) denklemlerini kurmak

\pi Q = 0

ve

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1

eşitlikleri yazılır.

Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde uzun dönem olasılıkları, Chapman-Kolmogorov eşitliklerinin sınır durumu olan Kolmogorov ileri denklemlerinin kararlı durumda sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.

2

Q

matrisinin ilk sütununu kullanarak birinci denklemi çözmek

-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0 \implies \pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0

Bilinmeyen olasılıkları tek bir referans değişken (

\pi_0

) cinsinden ifade etmek için denklem sadeleştirilir.

3

Q

matrisinin üçüncü sütununu kullanarak ikinci denklemi çözmek

2\pi_1 - 6\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{1}{3}\pi_1 = \frac{1}{3}\left(\frac{4}{3}\pi_0\right) = \frac{4}{9}\pi_0

\pi_2

olasılığı da

\pi_0

cinsinden ifade edilerek tüm değişkenler birbiriyle ilişkilendirilir.

4

Bulunan ifadeleri toplam olasılık denkleminde yerine koymak

\pi_0 + \frac{4}{3}\pi_0 + \frac{4}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0\left(\frac{9+12+4}{9}\right) = 1 \implies \frac{25}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{9}{25}

Bir sistemde tüm olası durumların bulunma olasılıkları toplamı 1 olmak zorundadır.

5

İstenen

\pi_1

olasılığını hesaplamak

\pi_1 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25}

Soru bizden sistemde tam olarak 1 arızalı sunucu bulunma durumu olan

\pi_1

'i istemektedir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Alternative Method

Bu CTMC aynı zamanda bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) olduğu için matris işlemleri yerine doğrudan 'yerel denge' (local balance) denklemleri kullanılabilir. Sadece komşu durumlar arasındaki geçişleri eşitleyerek:

4\pi_0 = 3\pi_1

ve

2\pi_1 = 6\pi_2

çok daha hızlı elde edilir ve sonuca gidilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 7Question →

Bir petrokimya tesisindeki kritik bir kimyasal reaktörün basınç stabilizasyon valfi, arıza ve onarım süreçlerine bağlı olarak $S = \{V_1, V_2, V_3\}$ durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov zinciri (CTMC) ile izlenmektedir. Sistemdeki geçiş oranlarını $\text{saat}^{-1}$ cinsinden gösteren sonsuz küçük üreteç (infinitesimal generator) matrisi $Q$ aşağıda verilmiştir:

Q = \begin{bmatrix} -a & 4 & 0 \\ 3 & -5 & b \\ 0 & 6 & -c \end{bmatrix}

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinin temel özellikleri dikkate alındığında, bu sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) $V_2$ durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{25}

\frac{3}{16}

\frac{12}{37}

\frac{1}{3}

\frac{12}{25}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{12}{25}$

Answer

Sistemin uzun dönemde

V_2

durumunda bulunma olasılığı

\frac{12}{25}

'tir.

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde Q-matrisinin satır toplamları sıfır olmalıdır. Buradan matristeki eksik

b

değeri 2 olarak bulunur. Kararlı durum denklemleri (

\pi Q = 0

) çözüldüğünde

\pi_2 = \frac{4}{3}\pi_1

ve

\pi_3 = \frac{4}{9}\pi_1

oranları elde edilir. Toplam olasılığın 1 olma şartından

\pi_1 = \frac{9}{25}

, ve dolayısıyla soruda istenen

V_2

durumunun olasılığı

\pi_2 = \frac{12}{25}

olarak kesin biçimde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Q-matrisinin özelliklerini kullanarak bilinmeyen geçiş oranlarını (

a, b, c

) bulmak.

Satır toplamları sıfır olmalıdır:

2.\text{ satır için } 3 - 5 + b = 0 \implies b = 2

. Diğer satırlardan

a=4

ve

c=6

elde edilir.

Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde herhangi bir durumdan ayrılma hızı (köşegen elemanın negatifi), diğer tüm durumlara geçiş hızlarının toplamına eşit olmalıdır.

2

Kararlı durum (steady-state) denklemlerini (

\pi Q = 0

) kurmak.

-4\pi_1 + 3\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{4}{3}\pi_1

ve

2\pi_2 - 6\pi_3 = 0 \implies \pi_3 = \frac{1}{3}\pi_2 = \frac{4}{9}\pi_1

oranları elde edilir.

Uzun dönemde sistem dengededir, yani bir duruma giriş hızlarının toplamı, o durumdan çıkış hızlarının toplamına eşit olmalıdır (Global denge denklemleri).

3

Toplam olasılık kuralını uygulayarak

\pi_1

olasılığını bulmak.

\pi_1 + \frac{12}{9}\pi_1 + \frac{4}{9}\pi_1 = 1 \implies \frac{25}{9}\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = \frac{9}{25}

olarak bulunur.

Sistem her an mutlak suretle bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır, bu nedenle kararlı durum olasılıklarının toplamı 1'e eşittir.

4

İstenilen

V_2

durumu için kararlı durum olasılığını hesaplamak.

\pi_2 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25}

bulunur.

Soruda sistemin uzun dönemde

V_2

durumunda bulunma olasılığı sorulmuştur.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Analizi ve Üreteç Matrisi

Question 8Question →

Bir belediyeye ait su arıtma tesisindeki ana su pompasının çalışma durumu, $S = \{0, 1\}$ durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Burada $0$ durumu pompanın 'aktif' olduğunu, $1$ durumu ise 'arızalı' olduğunu temsil etmektedir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi $Q$ aşağıda verilmiştir:

Q = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, bu su pompasının uzun dönemde (kararlı halde) aktif olma olasılığı kaçtır?

3/5

2/5

2/3

1/3

1/2

Show answer & explanation

Answer: $3/5$

Answer

Su pompasının uzun dönemde aktif olma olasılığı

3/5

olarak bulunur.

Verilen sonsuz küçük üreteç matrisi

Q

üzerinden kurulan

-2\pi_0 + 3\pi_1 = 0

denge denklemi ve

\pi_0 + \pi_1 = 1

normalizasyon koşulu birlikte çözüldüğünde, aktif durumu temsil eden

0

durumuna ait kararlı hal olasılığı

3/5

olarak hesaplanmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Kararlı hal olasılıkları için

\pi Q = 0

matris denklemini yazınız.

[-2\pi_0 + 3\pi_1 = 0]

ve

[2\pi_0 - 3\pi_1 = 0]

denklemleri elde edilir.

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı hal dağılımı, üreteç matrisi ile olasılık vektörünün çarpımının sıfır vektörüne eşit olmasıyla bulunur.

2

Elde edilen denklemi sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi kurunuz.

2\pi_0 = 3\pi_1 \Rightarrow \pi_1 = \frac{2}{3}\pi_0

Değişkenlerden birini diğeri cinsinden ifade etmek çözüm sürecini kolaylaştırır.

3

Olasılıkların toplamının 1 olması gerektiği kuralını uygulayınız.

\pi_0 + \pi_1 = 1 \Rightarrow \pi_0 + \frac{2}{3}\pi_0 = 1 \Rightarrow \frac{5}{3}\pi_0 = 1

Tüm durum olasılıklarının toplamı her zaman 1'e eşit olmalıdır (normalizasyon koşulu).

4

\pi_0

değerini yalnız bırakarak sonucu bulunuz.

\pi_0 = 3/5

Soruda istenen 'aktif' durumu (0 durumu) olasılığı bu değerdir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Hal (Stationary Distribution) Analizi

Practice More

3 durumlu (0, 1, 2) bir doğum-ölüm süreci için üreteç matrisi oluşturup kararlı hal olasılıklarını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 0s

Question 9Question →

Bir kamu kütüphanesindeki dijital arşivleme tarayıcısının çalışma durumu, durum uzayı $S = \{0, 1\}$ olan sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Durum 0 tarayıcının "çalışır" durumda olduğunu, durum 1 ise "arızalı" olduğunu temsil etmektedir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi ( $Q$ -matrisi) aşağıda verilmiştir:

Q = \begin{pmatrix} -0,15 & 0,15 \\ 0,35 & -0,35 \end{pmatrix}

Buna göre, bu tarayıcının uzun dönemde (kararlı durumda) arızalı olma olasılığı kaçtır?

0,15

0,30

0,35

0,45

0,70

Show answer & explanation

Answer: 0,30

Answer

Tarayıcının uzun dönemde arızalı olma olasılığı 0,30'dur.

Verilen

Q

-matrisine göre, durum 0'dan 1'e geçiş hızı

\lambda = 0,15

ve durum 1'den 0'a geçiş hızı

\mu = 0,35

'dir. İki durumlu bir sürekli zamanlı Markov sürecinde, kararlı durumda ikinci durumda (arızalı) bulunma olasılığı

\pi_1 = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}

formülüyle hesaplanabilir. Buradan

\pi_1 = \frac{0,15}{0,15 + 0,35} = \frac{0,15}{0,50} = 0,30

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kararlı durum olasılıkları (

\pi_0, \pi_1

) için denge denklemlerini (

\pi Q = 0

) yazın.

-0,15\pi_0 + 0,35\pi_1 = 0

Kararlı durumda, bir duruma giriş hızı o durumdan çıkış hızına eşit olmalıdır.

2

Denge denklemini sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi belirleyin.

0,15\pi_0 = 0,35\pi_1 \Rightarrow 15\pi_0 = 35\pi_1 \Rightarrow 3\pi_0 = 7\pi_1 \Rightarrow \pi_0 = \frac{7}{3}\pi_1

Olasılıklar arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak için gereklidir.

3

Normalizasyon koşulunu (

\sum \pi_i = 1

) uygulayın.

\pi_0 + \pi_1 = 1 \Rightarrow \frac{7}{3}\pi_1 + \pi_1 = 1 \Rightarrow \frac{10}{3}\pi_1 = 1

Bir sistemdeki tüm olası durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.

4

Arızalı durum olasılığını (

\pi_1

) hesaplayın.

\pi_1 = \frac{3}{10} = 0,30

Denklemin çözülmesi sonucunda hedef olasılığa ulaşılır.

Key Concept

Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde (CTMC) sonsuz küçük üreteç matrisi

Q

kullanılarak kararlı durum olasılıkları

\pi Q = 0

ve

\sum \pi_i = 1

denklemleriyle hesaplanır.

Question 10Question →

Bir çağrı merkezindeki telefon santrali, kapasitesi en fazla 2 çağrı olacak şekilde tasarlanmıştır. Bu sisteme gelen çağrılar ve tamamlanan görüşmeler, durum uzayı $S = \{0, 1, 2\}$ olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) olarak modellenmektedir.

Sistemde $n$ adet çağrı varken;
- Yeni bir çağrının gelme (doğum) oranları: $\lambda_0 = 3$ çağrı/saat, $\lambda_1 = 2$ çağrı/saat ve $\lambda_2 = 0$
- Mevcut bir çağrının tamamlanma (ölüm) oranları: $\mu_1 = 1$ çağrı/saat ve $\mu_2 = 1$ çağrı/saat
olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) tam kapasite dolu olma (sistemde 2 çağrı bulunma) olasılığı kaçtır?

\frac{1}{10}

\frac{1}{9}

\frac{3}{10}

\frac{1}{3}

\frac{3}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{5}$

Answer

Sistemin tam kapasite dolu olma olasılığı

\frac{3}{5}

'tir.

Kararlı durum analizi için yerel denge (local balance) denklemleri olan

\lambda_n\pi_n = \mu_{n+1}\pi_{n+1}

kullanılır. Oranlar yerine konulduğunda

\pi_1 = 3\pi_0

ve

\pi_2 = 6\pi_0

elde edilir. Olasılıkların toplamı (

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 10\pi_0

) 1'e eşitlenerek

\pi_0 = \frac{1}{10}

bulunur. Sistemde iki müşterinin bulunması tam kapasiteyi gösterir; bu nedenle istenen

\pi_2 = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{5}

doğru değerdir.

Step-by-Step Solution

1

Doğum-ölüm süreci için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini kurun.

\lambda_0\pi_0 = \mu_1\pi_1

ve

\lambda_1\pi_1 = \mu_2\pi_2

eşitlikleri elde edilir.

Kararlı durumda iki komşu durum arasındaki akış hızları birbirine eşit (Rate In = Rate Out) olmalıdır.

2

Verilen oranları denklemlere yerleştirerek tüm olasılıkları

\pi_0

cinsinden yazın.

3\pi_0 = 1\pi_1 \implies \pi_1 = 3\pi_0

ve

2\pi_1 = 1\pi_2 \implies \pi_2 = 2\pi_1 = 2(3\pi_0) = 6\pi_0

bulunur.

Bilinmeyen sayısını teke düşürerek toplam olasılık üzerinden çözüme gitmek için ardışık yerine koyma işlemi yapılır.

3

Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması kuralını kullanarak

\pi_0

'ı hesaplayın.

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 + 3\pi_0 + 6\pi_0 = 1 \implies 10\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{1}{10}

elde edilir.

Bir olasılık dağılımında örneklem uzayındaki tüm olası durumların olasılıkları toplamı daima 1'dir.

4

Soruda istenen tam kapasite dolu olma (sistemde 2 çağrı bulunma) olasılığını (

\pi_2

) hesaplayın.

\pi_2 = 6\pi_0 = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

olarak bulunur.

Sistemin maksimum kapasitesi 2 olduğu için istenen hedef durum

\pi_2

'dir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Question 11Question →

Sürekli zamanlı bir Markov süreci (CTMC), $S = \{0, 1, 2, 3\}$ durum uzayına sahiptir ve durumlar arasındaki geçiş hızlarını gösteren sonsuz küçük üreteç matrisi ( $\mathbf{Q}$ matrisi) aşağıda verilmiştir:

\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Süreç $t=0$ anında $0$ numaralı durumdan başlamaktadır. $3$ numaralı durum yutan (absorbing) durum olduğuna göre, sürecin $3$ numaralı duruma ulaşana kadar geçen beklenen süresi kaçtır?

\frac{5}{7}

\frac{13}{12}

\frac{7}{5}

\frac{16}{5}

\frac{21}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{5}$

Answer

Sürecin yutulma durumuna (3 numaralı durum) ulaşana kadar geçen beklenen süresi

\frac{7}{5}

birim zamandır.

Doğru çözüm, sürecin geçici durumlarında geçirdiği ortalama sürelerin birinci adım analizi (first-step analysis) ile denklem sistemine dökülmesine dayanır. Durum

i

'den yutan duruma kadar geçen beklenen süre

m_i

olmak üzere;

m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}m_1 + \frac{2}{4}m_2

ve diğer durumlara ait denklemler ortak çözüldüğünde sonuç

m_0 = \frac{7}{5}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

CTMC için yutulma zamanı beklentisi (

m_i

) denklemlerinin genel yapısını belirleme

m_i = \frac{1}{-q_{ii}} + \sum_{j \neq i} \frac{q_{ij}}{-q_{ii}} m_j

Herhangi bir durumdan yutulmaya kadar geçen süre, o durumdaki ortalama bekleme süresi ile gidilecek bir sonraki durumdan yutulmaya kadar geçecek sürelerin ağırlıklı ortalamasının toplamıdır.

2

Verilen Q matrisinden yararlanarak

m_0

,

m_1

ve

m_2

için eşitlikleri oluşturma

m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}m_1 + \frac{2}{4}m_2

m_1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}m_0

m_2 = \frac{1}{2} + m_0

Matrisin köşegen elemanları (

-q_{ii}

) ilgili durumlardan ayrılma hızlarını (bekleme süresi paydası), diğer elemanlar (

q_{ij}

) ise hedef durumlara geçiş hızlarını verir. Yutan durum olan 3 için

m_3 = 0

'dır.

3

Oluşturulan 3 bilinmeyenli denklem sistemini

m_0

'a bağlı olacak şekilde çözme

m_1

ve

m_2

değerleri

m_0

denkleminde yerine yazılır:

m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}m_0) + \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + m_0)

Süreç

0

durumundan başladığı için hesaplanması gereken ve sorulan asıl değer

m_0

'dır.

4

Elde edilen tek bilinmeyenli denklemi basitleştirerek nihai

m_0

sonucunu bulma

m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}m_0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}m_0 \implies m_0 = \frac{7}{12} + \frac{7}{12}m_0 \implies \frac{5}{12}m_0 = \frac{7}{12} \implies m_0 = \frac{7}{5}

Matematiksel işlemler tamamlanarak başlangıç durumundan itibaren beklenen yutulma süresi elde edilir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde (CTMC) İlk Geçiş ve Yutulma Zamanları (Expected Time to Absorption)

Alternative Method

Matris yaklaşımı ile çözüm: Sistemin geçici durumlar matrisi

\mathbf{Q}_{TT}

kullanılarak

(-\mathbf{Q}_{TT}) \mathbf{m} = \mathbf{1}

denklemi kurulur. Buradan

\mathbf{m} = (-\mathbf{Q}_{TT})^{-1} \mathbf{1}

matris tersi işlemi yapılarak

m_0

için aynı sonuca (

\frac{7}{5}

) ulaşılabilir.

Estimated Time:4m 0s

Question 12Question →

Bir fabrikada üretim hattında görev yapan 2 adet birbirinin aynısı özel endüstriyel robot bulunmaktadır. Herhangi bir anda arızalı robot sayısı $X(t) \in \{0, 1, 2\}$ olmak üzere, sistem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci (CTMC) olarak modellenmektedir.

Sisteme ait arıza (doğum) ve onarım (ölüm) hızları aşağıdaki gibidir:
- İki robot da çalışırken arıza meydana gelme hızı haftada 3'tür ( $\lambda_0 = 3$ ).
- Bir robot arızalıyken diğerinin arızalanma hızı haftada 2'dir ( $\lambda_1 = 2$ ).
- Bir robot arızalıyken bakım ekibinin onarım hızı haftada 4'tür ( $\mu_1 = 4$ ).
- İki robot birden arızalandığında dışarıdan acil destek ekibi gelmekte ve sistemden çıkan (onarılan) robot hızı haftada 5'e yükselmektedir ( $\mu_2 = 5$ ).
- Tam kapasite durumunda (2 arızalı robot) yeni arıza oluşamaz ( $\lambda_2 = 0$ ).

Buna göre, bu fabrikada uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{6}

\frac{9}{37}

\frac{6}{41}

\frac{10}{17}

\frac{12}{47}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{6}{41}$

Answer

Uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı

\frac{6}{41}

'dir.

Bu problem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellendiğinden, uzun dönem (kararlı durum) olasılıkları

\pi_n

ardışık durumların denge denklemleri olan

\lambda_{n-1}\pi_{n-1} = \mu_n\pi_n

eşitliğinden bulunur. Oranlar yerine konulduğunda

\pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0

ve

\pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0

eşitlikleri elde edilir. Tüm olasılıkların toplamının 1 olması gerektiğinden yola çıkarak

\pi_0(1 + 0.75 + 0.3) = 1

denklemi çözülür. Buradan

\pi_0 = \frac{20}{41}

ve hedeflenen olasılık olan

\pi_2 = \frac{6}{41}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini (balance equations) kurma

\lambda_0 \pi_0 = \mu_1 \pi_1

ve

\lambda_1 \pi_1 = \mu_2 \pi_2

Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreçlerinde ardışık durumlar arası akış dengede olmalıdır.

2

Verilen geçiş hızlarını denklemlere yerleştirme

3\pi_0 = 4\pi_1 \implies \pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0

ve

2\pi_1 = 5\pi_2 \implies 2(\frac{3}{4}\pi_0) = 5\pi_2 \implies \pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0

Durum olasılıklarını birbirleri cinsinden yazarak ortak bir bilinmeyene (

\pi_0

) bağlamak için.

3

Tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitleme

\pi_0 + \frac{3}{4}\pi_0 + \frac{3}{10}\pi_0 = 1

Sistemin herhangi bir anda mutlaka

\{0, 1, 2\}

durumlarından birinde bulunma zorunluluğundan.

4

Denklemi çözerek

\pi_2

olasılığını hesaplama

\pi_0(1 + \frac{15}{20} + \frac{6}{20}) = 1 \implies \frac{41}{20}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{20}{41}

. Buradan

\pi_2 = \frac{3}{10} \times \frac{20}{41} = \frac{6}{41}

İstenen değer sistemin tam kapasite (2 arıza) durumunda olma olasılığıdır.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Analizi

Question 13Question →

Bir sunucu sistemi, 'Çalışır (0)', 'Kısmen Arızalı (1)' ve 'Tamamen Arızalı (2)' olmak üzere üç farklı durumda bulunabilen sürekli zamanlı bir Markov süreci (CTMC) ile modellenmektedir. Sistemin durumlar arası geçiş hızları (oranları) şu şekildedir:

- Çalışır durumdaki bir sunucunun kısmen arızalı duruma geçiş hızı saatte 3, tamamen arızalı duruma geçiş hızı ise saatte 2'dir.
- Kısmen arızalı durumdaki bir sunucu saatte 2 hızla onarılarak çalışır duruma dönerken, saatte 4 hızla tamamen arızalı duruma bozularak geçmektedir.
- Tamamen arızalı durumdaki bir sunucu, saatte 5 hızla doğrudan çalışır duruma onarılmaktadır. (Tamamen arızalı durumdan kısmen arızalı duruma geçiş yoktur).

Bu bilgilere göre, uzun dönemde (kararlı durumda) sunucunun 'Tamamen Arızalı' durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{8}

\frac{2}{5}

\frac{10}{23}

\frac{4}{19}

\frac{8}{23}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{8}{23}$

Answer

Sunucunun tamamen arızalı durumunda bulunma olasılığı

\frac{8}{23}

olmalıdır.

Kararlı durumda sisteme giren ve çıkan akış oranları eşit olmalıdır (

\pi Q = 0

). Elde edilen denge denklemleri çözülüp

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1

kuralı uygulandığında, Tamamen Arızalı durumun olasılığı

\frac{8}{23}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sonsuz küçük üreteç (generator) matrisi

Q

'yu oluşturun.

Q = \begin{bmatrix} -5 & 3 & 2 \\ 2 & -6 & 4 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix}

Durumlar arası geçiş oranları matrisin köşegen dışı elemanlarını, satır toplamının sıfır olması kuralı ise köşegen elemanlarını (

q_{ii} = -\sum_{j \neq i} q_{ij}

) verir.

2

Kararlı durum olasılıkları için

\pi Q = 0

denge denklemlerini yazın.

1)

-5\pi_0 + 2\pi_1 + 5\pi_2 = 0

2)

3\pi_0 - 6\pi_1 = 0 \Rightarrow \pi_1 = 0.5\pi_0

3)

2\pi_0 + 4\pi_1 - 5\pi_2 = 0

Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde uzun dönem olasılıkları sisteme giriş ve çıkış oranlarının dengelenmesiyle bulunur.

3

Denklemleri çözerek

\pi_2

'yi

\pi_0

cinsinden ifade edin.

3. denkleme

\pi_1 = 0.5\pi_0

yazılırsa:

2\pi_0 + 4(0.5\pi_0) - 5\pi_2 = 0 \Rightarrow 4\pi_0 = 5\pi_2 \Rightarrow \pi_2 = 0.8\pi_0

Bütün değişkenleri tek bir bilinmeyen (

\pi_0

) cinsinden yazmak normalizasyon adımına hazırlıktır.

4

Normalizasyon kuralı

\sum \pi_i = 1

eşitliğini uygulayarak

\pi_0

'ı bulun ve sorulan

\pi_2

'yi hesaplayın.

\pi_0 + 0.5\pi_0 + 0.8\pi_0 = 1 \Rightarrow 2.3\pi_0 = 1 \Rightarrow \pi_0 = \frac{10}{23}

. Buradan

\pi_2 = 0.8 \times \frac{10}{23} = \frac{8}{23}

.

Tüm durumların olasılıklarının toplamı daima 1'e eşit olmak zorundadır.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum Olasılıkları

Question 14Question →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğündeki evrak kayıt masasında bekleyen ve işlem gören toplam dosya sayısı, durum uzayı $S = \{0, 1, 2\}$ olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellenmektedir.

Bu masadaki işleyişe ait geçiş hızları (saat başına) aşağıda verilmiştir:
- Masa boşken yeni dosya gelme hızı: $\lambda_0 = 3$
- Masada 1 dosya varken yeni dosya gelme hızı: $\lambda_1 = 2$
- Masada 2 dosya varken kapasite dolduğundan yeni dosya kabul edilmemektedir ( $\lambda_2 = 0$ ).
- Masada 1 dosya varken işlemin tamamlanma hızı: $\mu_1 = 1$
- Masada 2 dosya varken memurun artan iş yüküyle hızlanması sonucu işlemin tamamlanma hızı: $\mu_2 = 4$

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) bu masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0

\frac{2}{11}

\frac{3}{7}

\frac{3}{4}

\frac{6}{11}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{6}{11}$

Answer

Uzun dönemde sistemde tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı

\frac{6}{11}

olarak hesaplanır.

Kararlı durumda (steady-state) doğum-ölüm süreçleri için denge denklemleri kullanılarak her durumun olasılığı

P_0

cinsinden bulunur. Verilen hızlar kullanıldığında

P_1 = 3 P_0

ve

P_2 = 1.5 P_0

elde edilir. Tüm olasılıkların toplamının 1 olması kuralından hareketle

P_0 (1 + 3 + 1.5) = 1

denklemi kurularak

P_0 = \frac{2}{11}

bulunur. Soruda masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı istendiğinden

P_1 = 3 \times \frac{2}{11} = \frac{6}{11}

olarak hesaplanıp doğru cevaba ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreci için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini oluşturun.

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

genel formülünden faydalanarak

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0

ve

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1

denklemleri yazılır.

Kararlı durumda her bir durum için giriş hızları toplamı, çıkış hızları toplamına eşit olmalıdır.

2

Soruda verilen geçiş hızlarını denklemlere yerleştirerek

P_1

ve

P_2

'yi

P_0

cinsinden ifade edin.

P_1 = \frac{3}{1} P_0 = 3 P_0

P_2 = \frac{2}{4} P_1 = \frac{1}{2} (3 P_0) = 1.5 P_0

Tüm durumların olasılıklarını tek bir bilinmeyen (

P_0

) cinsinden yazarak ortak denkleme hazırlık yapmak için.

3

Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması kuralını uygulayarak

P_0

'ı bulun.

P_0 + P_1 + P_2 = 1 \implies P_0 + 3 P_0 + 1.5 P_0 = 1 \implies 5.5 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{5.5} = \frac{2}{11}

Olasılık aksiyomları gereği, sistemin tüm olası durumlarının olasılıkları toplamı daima 1 olmalıdır.

4

P_0

değerini kullanarak soruda istenen

P_1

(sistemde 1 dosya olma) olasılığını hesaplayın.

P_1 = 3 P_0 = 3 \times \frac{2}{11} = \frac{6}{11}

Soruda kararlı durumda masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı istenmektedir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Question 15Question →

Bir Orman Genel Müdürlüğü erken uyarı merkezinde, orman yangını risk seviyesi sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci olarak modellenmektedir. Sistem üç farklı risk durumunda bulunabilmektedir: $S = \{0, 1, 2\}$ .

- $0$ : Düşük Risk
- $1$ : Orta Risk
- $2$ : Yüksek Risk

Risk seviyesindeki değişimler sadece ardışık durumlar arasında gerçekleşmektedir. Sistemin durumları arasındaki günlük geçiş oranları şu şekildedir:
- Düşük riskten orta riske geçiş oranı: $\lambda_0 = 2$
- Orta riskten yüksek riske geçiş oranı: $\lambda_1 = 1$
- Orta riskten düşük riske dönme oranı: $\mu_1 = 3$
- Yüksek riskten orta riske dönme oranı: $\mu_2 = 4$

Buna göre, sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) "Düşük Risk" ( $0$ ) durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{11}

\frac{2}{17}

\frac{4}{11}

\frac{6}{11}

\frac{3}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{6}{11}$

Answer

Sistemin Düşük Risk (0) durumunda bulunma olasılığı

\frac{6}{11}

'dir.

Sürekli zamanlı bir doğum-ölüm sürecinde yerel denge denklemleri

\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n

şeklinde kurulur. 0 ve 1 durumları için

2P_0 = 3P_1

, 1 ve 2 durumları için

1P_1 = 4P_2

eşitlikleri geçerlidir. Buradan

P_1 = \frac{2}{3}P_0

ve

P_2 = \frac{1}{4}P_1 = \frac{1}{6}P_0

elde edilir. Tüm olasılıkların toplamı 1 olacağından;

P_0(1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{6}) = 1 \implies P_0(\frac{11}{6}) = 1

denklemi çözülerek Düşük Risk durumu olasılığı

\frac{6}{11}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Doğum-ölüm süreci için her bir ardışık durum arasındaki yerel denge (balance) denklemlerini kurunuz.

Düğüm 0 ile 1 arası:

\lambda_0 P_0 = \mu_1 P_1 \implies 2P_0 = 3P_1

Düğüm 1 ile 2 arası:

\lambda_1 P_1 = \mu_2 P_2 \implies 1P_1 = 4P_2

Kararlı durumda (steady-state), bir durumdan diğerine geçiş hızı, o durumdan geriye dönüş hızına eşit olmalıdır.

2

Tüm kararlı durum olasılıklarını (

P_1

ve

P_2

)

P_0

cinsinden ifade ediniz.

P_1 = \frac{2}{3}P_0

P_2 = \frac{1}{4}P_1 = \frac{1}{4}(\frac{2}{3}P_0) = \frac{1}{6}P_0

Olasılıkların toplamını 1'e eşitleyerek tek bilinmeyenli bir denklem elde edebilmek için tüm terimlerin aynı değişken cinsinden yazılması gerekir.

3

Normalizasyon şartını (

P_0 + P_1 + P_2 = 1

) kullanarak

P_0

değerini hesaplayınız.

P_0 + \frac{2}{3}P_0 + \frac{1}{6}P_0 = 1 \implies P_0(1 + \frac{4}{6} + \frac{1}{6}) = 1 \implies P_0(\frac{11}{6}) = 1 \implies P_0 = \frac{6}{11}

Bir Markov sürecinde sistemin alabileceği tüm durumların olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları ve Yerel Denge Denklemleri

Alternative Method

Sürecin geçiş oranları matrisi (Infinitesimal Generator Matrix - Q matrisi) kullanılarak genel çözüm yapılabilir. Matris:

Q = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 3 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & -4 \end{bmatrix}

şeklindedir.

\pi Q = 0

ve

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1

denklem sistemi çözüldüğünde

\pi_0

değeri doğrudan elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 16Question →

Bir devlet hastanesinin acil servisindeki hasta kabul biriminin yoğunluk seviyesi, durum uzayı $S = \{1, 2, 3\}$ olan sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmektedir (1: Düşük, 2: Orta, 3: Yüksek yoğunluk). Bu sürece ait birim saat cinsinden geçiş oranlarını gösteren infinitezimal üreteç (jeneratör) matrisi $Q$ aşağıda verilmiştir:

Q = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 5 & -7 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, acil servisin uzun dönemde (kararlı durumda) "Orta" (Durum 2) yoğunluk seviyesinde bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{12}{23}

0

\frac{12}{35}

\frac{1}{2}

\frac{3}{7}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{12}{35}$

Answer

Uzun dönemde sistemin Durum 2'de bulunma olasılığı

\frac{12}{35}

'tir.

Sürekli zamanlı bir Markov zincirinde kararlı durum olasılık vektörü

\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3]

,

\pi Q = 0

sistemini sağlar. Bu çarpımdan sırasıyla

-4\pi_1 + 5\pi_2 = 0

(bu da

\pi_1 = 1.25\pi_2

demektir) ve

2\pi_2 - 3\pi_3 = 0

(bu da

\pi_3 = (2/3)\pi_2

demektir) eşitlikleri bulunur. Sistemin tüm olasılıkları toplamı 1 olacağından;

\frac{5}{4}\pi_2 + 1\pi_2 + \frac{2}{3}\pi_2 = 1

denklemi yazılır. Ortak payda (12) kullanılarak toplandığında

\frac{35}{12}\pi_2 = 1

elde edilir. Buradan Durum 2'nin uzun dönem olasılığı olan

\pi_2

,

\frac{12}{35}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kararlı durum (steady-state) denklemlerini (

\pi Q = 0

) kurmak.

-4\pi_1 + 5\pi_2 = 0

ve

2\pi_2 - 3\pi_3 = 0

dengeleri elde edilir.

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde uzun dönem olasılıkları, olasılık vektörü ile üreteç matrisinin çarpımının sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.

2

Tüm durum olasılıklarını

\pi_2

cinsinden ifade etmek.

\pi_1 = \frac{5}{4}\pi_2

ve

\pi_3 = \frac{2}{3}\pi_2

olarak yazılır.

Olasılıkları tek bir bilinmeyene indirgeyerek toplam kuralını kolayca uygulayabilmek için bu işlem yapılır.

3

Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması kuralını (

\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1

) uygulamak.

\frac{5}{4}\pi_2 + \pi_2 + \frac{2}{3}\pi_2 = 1 \implies \left(\frac{15}{12} + \frac{12}{12} + \frac{8}{12}\right)\pi_2 = 1 \implies \frac{35}{12}\pi_2 = 1

.

Sistemin herhangi bir anda mutlaka durum uzayındaki konumlardan birinde bulunması gerektiğinden, olasılıklar toplamı daima 1'dir.

4

Denklemi çözerek

\pi_2

değerini yalnız bırakmak.

\pi_2 = \frac{12}{35}

sonucu elde edilir.

Kararlı durumda 'Orta' yoğunluk seviyesinin olasılığı doğrudan

\pi_2

değişkenine eşittir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Question 17Question →

Bir kamu hizmet merkezindeki işlem bankosunun çalışma durumu, $S = \{0, 1\}$ durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi (infinitesimal generator matrix) $Q$ aşağıda verilmiştir:

Q = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, bu sürecin kararlı durumunda (stationary distribution) bankonun boş (durum 0) olma olasılığı kaçtır?

0,20

0,40

0,50

0,60

0,75

Show answer & explanation

Answer: 0,60

Answer

Bankonun boş olma olasılığı 0,60 olarak hesaplanır.

Verilen üreteç matrisine göre denge denklemi

-2P_0 + 3P_1 = 0

şeklindedir. Bu denklemden

P_1 = \frac{2}{3}P_0

ilişkisi bulunur. Toplam olasılık kuralı olan

P_0 + P_1 = 1

denkleminde bu ilişki yerine yazıldığında

P_0 + \frac{2}{3}P_0 = 1

elde edilir. Buradan

\frac{5}{3}P_0 = 1

ve sonuç olarak

P_0 = 0,6

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kararlı durum denklemlerini (

P \cdot Q = 0

) ve normalizasyon şartını (

P_0 + P_1 = 1

) belirlemek.

-2P_0 + 3P_1 = 0

ve

P_0 + P_1 = 1

denklemleri elde edilir.

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı durum olasılıkları, üreteç matrisi ile olasılık vektörünün çarpımının sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.

2

Denge denkleminden bir değişkeni diğeri cinsinden yazmak.

3P_1 = 2P_0 \Rightarrow P_1 = \frac{2}{3}P_0

.

İki bilinmeyenli sistemi çözebilmek için değişkenler arası ilişki kurulur.

3

Değişkeni normalizasyon denkleminde yerine koyarak çözmek.

P_0 + \frac{2}{3}P_0 = 1 \Rightarrow \frac{5}{3}P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{3}{5} = 0,6

.

Toplam olasılığın 1 olması gerektiği kuralı ile kesin sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı durum olasılıkları, denge denklemleri (

P \cdot Q = 0

) ve toplam olasılık kuralı kullanılarak hesaplanır.

Estimated Time:45s

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes