Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) bünyesinde çalışan bir uzman, belirli bir sanayi bölgesin… — KPSS İstatistik

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) bünyesinde çalışan bir uzman, belirli bir sanayi bölgesindeki işletmelerin yıllık ortalama enerji tüketimini tahmin etmek amacıyla bir araştırma tasarlamaktadır. İşletmeler, üretim kapasitelerine göre küçükten büyüğe doğru resmi bir listede sıralanmıştır. Uzman, listeyi $k$ aralıklarına bölmüş ve belirlenen ilk aralıktan tek bir rastgele numara çekerek tam $n$ hacimli standart bir sistematik örneklem elde etmiştir.

Ancak uzman, kitle ortalamasını tahmin ettikten sonra hata payını raporlayabilmek için varyans hesaplamak istediğinde, elindeki tek başlangıçlı örneklem yapısı nedeniyle kitle ortalamasının varyansına dair yansız (unbiased) bir tahmin üretmenin matematiksel olarak mümkün olmadığını fark etmiştir.

Uzmanın bu sorunla karşılaşmasının temel teorik gerekçesi ve varyans tahminini geçerli kılabilmek için uygulaması gereken en doğru istatistiksel yaklaşım aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

Neden: Tek rastgele başlangıç kullanılması, kitleyi olası $k$ adet kümeye ayırıp bunlardan sadece 1'ini seçmek anlamına gelir; bu da kümeler arası varyans hesabı için gereken serbestlik derecesini sıfır yapar.
Yaklaşım: Gelecek tasarımlarda çoklu rastgele başlangıç (tekrarlı sistematik örnekleme) uygulanmalı veya mevcut veri üzerinde ardışık farklar (successive differences) yöntemine başvurulmalıdır.Answer
B
Neden: Seçim iadesiz yapılmasına rağmen, işletme sayısının sonlu olduğu durumlarda sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) ihmal edilmesi varyansın hesaplanmasını engeller.
Yaklaşım: Elde edilen verilere basit rastgele örnekleme varyans formülü doğrudan uygulanmalı ve sonuç $(1-n/N)$ ile çarpılarak düzeltilmelidir.
C
Neden: Sistematik seçim aralığı $k$ 'nın her zaman tam sayı olarak belirlenememesi, listedeki bazı işletmelerin seçilme olasılığını sıfıra indirerek tahminleyicinin yansızlığını bozar.
Yaklaşım: Sabit bir $k$ aralığı yerine, listenin başa sardığı dairesel sistematik örnekleme yöntemi kullanılmalı ve varyans kitle büyüklüğüne göre yeniden ağırlıklandırılmalıdır.
D
Neden: İşletmelerin kapasiteye göre sıralanmış olması veride periyodik (döngüsel) bir dalgalanma yaratır ve bu durum örneklem varyansının kitle varyansından her zaman büyük çıkmasına neden olur.
Yaklaşım: Sistematik seçim yapılmadan önce sanayi bölgesi listesi tamamen rastgele karıştırılarak dizilişin etkisi sıfırlanmalıdır.
E
Neden: Sistematik örneklemede varyans hesaplaması, yalnızca ilgilenilen değişken ile güçlü korelasyona sahip bir yardımcı değişkenin varyans-kovaryans yapısı bilindiğinde mümkündür.
Yaklaşım: Tahmin sürecine üretim kapasitesi yardımcı değişken olarak eklenmeli ve regresyon tahminleyicisi kullanılarak varyans elde edilmelidir.

Answer

Sistematik örneklemede tek rastgele başlangıç kullanılması serbestlik derecesini sıfır yaptığından yansız varyans tahmini imkansızdır; çözüm olarak tekrarlı sistematik örnekleme veya ardışık farklar yöntemi kullanılmalıdır.

Sistematik örneklemede kitle

k

adet olası kümeye (örnekleme) bölünür ve tek bir rastgele başlangıç noktası ile bu kümelerden sadece biri blok halinde seçilir. Seçilen örneklemdeki birimler kendi aralarında rassal değil, deterministik bir aralıkla (

k

) belirlenmiştir. Bu durum, örnekleme tasarımının serbestlik derecesinin sıfır (

1-1=0

) olmasına yol açar. En az iki rassal seçim olmadığından, kitle ortalamasının varyansının yansız tahmini eldeki veriyle yapılamaz. Sorunun üstesinden gelmek için tasarım aşamasında çoklu rastgele başlangıç (tekrarlı sistematik örnekleme) kullanılarak serbestlik derecesi artırılabilir veya analizde ardışık gözlemlerin hayali tabakalardan geldiği varsayımına dayanan ardışık farklar (successive differences) yöntemi ile varyansa oldukça yakın bir tahmin elde edilebilir.

Step-by-Step Solution

Sistematik örneklemenin teorik yapısının ve serbestlik derecesinin incelenmesi

N

birimlik kitle

k

aralıkla

n

hacimli kümeler oluşturur. Tek bir rastgele başlangıç seçildiğinde, aslında olası

k

kümeden sadece 1 tanesi seçilmiş olur. Kümeler arası varyans için serbestlik derecesi

1 - 1 = 0

'dır.

Varyans hesaplayabilmek için rassal olarak seçilmiş en az iki bağımsız birim veya küme gereklidir.

Tek rastgele başlangıç kısıtının varyans tahminine etkisinin değerlendirilmesi

Serbestlik derecesi sıfır olduğu için, kitle varyansına ilişkin yansız (unbiased) bir tahminin elde edilmesi matematiksel olarak imkansız hale gelir.

Örneklem içindeki varyasyon, kümeler arası gerçek varyasyonu (örnekleme hatasını) yansıtmaz.

Literatürdeki çözüm yaklaşımlarının belirlenmesi

Tasarım aşamasında, her biri daha küçük hacimli olan ve farklı rastgele başlangıçlarla çekilen birden fazla sistematik örneklem (tekrarlı sistematik örnekleme) seçilebilir. Analiz aşamasında ise, sıralı listenin sağladığı komşuluk ilişkisinden yararlanan "ardışık farklar" (successive differences) tahminleyicisi kullanılabilir.

Bu yöntemler serbestlik derecesini artırarak veya kitledeki örtük tabakalanma yapısını modelleyerek varyansın tahmin edilebilmesine olanak tanır.

Key Concept

Sistematik Örneklemede Varyans Tahmini ve Serbestlik Derecesi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic