Examkin

Question

Difficulty: Medium(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir üniversite kütüphanesinin ödünç verme bankosunda, öğrencilere hizmet vermek üzere 22 adet özdeş görevli çalışmaktadır. Kütüphaneye kitap iadesi veya ödünç işlemi için gelen öğrencilerin varışları saatte ortalama 88 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir görevlinin bir öğrenciye hizmet verme süresi ise ortalama 1212 dakika olacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Buna göre, (M/M/2)(M/M/2) kuyruk modeline göre sistemin tamamen boş olması olasılığı (P0P_0) kaçtır?

  1. 1/9Answer
  2. B
    1/8
  3. C
    1/5
  4. D
    1/2
  5. E
    2/9

Answer

Sistemin tamamen boş olması olasılığı 1/91/9 olarak hesaplanır.
Verilen değerlere göre λ/μ=16\lambda/\mu = 1{}6 ve ρ=08\rho = 0{}8 olarak bulunur. (M/M/2)(M/M/2) sisteminin boş olma olasılığı formülünde değerler yerine konulduğunda [1+16+64]−1=1/9[1 + 1{}6 + 6{}4]^{-1} = 1/9 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızı (μ\mu) parametrelerini belirleyiniz.
λ=8\lambda = 8 öğrenci/saat; μ=60/12=5\mu = 60 / 12 = 5 öğrenci/saat (her bir görevli için).
Kuyruk modellerinde tüm parametrelerin aynı zaman biriminde (saat) olması gerekmektedir.
2
Kanal sayısını (cc), λ/μ\lambda/\mu oranını ve trafik yoğunluğunu (ρ\rho) hesaplayınız.
c=2c = 2, λ/μ=8/5=16\lambda/\mu = 8/5 = 1{}6 ve ρ=λ/(c⋅μ)=8/(2⋅5)=08\rho = \lambda / (c \cdot \mu) = 8 / (2 \cdot 5) = 0{}8.
ρ<1\rho < 1 olduğu için sistem dengededir (steady-state). Bu değerler P0P_0 formülünde kullanılacaktır.
3
(M/M/c)(M/M/c) modeli için sistemin boş olma olasılığı (P0P_0) formülünü uygulayınız.
P0=[∑n=0c−1(λ/μ)nn!+(λ/μ)cc!(1−ρ)]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c! (1 - \rho)} \right]^{-1} formülünden P0=[1+16+1622!(1−08)]−1P_0 = [1 + 1{}6 + \frac{1{}6^2}{2! (1 - 0{}8)}]^{-1} elde edilir.
Çok kanallı sistemlerde sistemin boş olması olasılığı tüm kanalların boş olduğu durumların toplamını ve kuyruk olasılığını içerir.
4
İşlemleri sonuçlandırınız.
P0=[26+2562⋅02]−1=[26+25604]−1=[26+64]−1=1/9P_0 = [2{}6 + \frac{2{}56}{2 \cdot 0{}2}]^{-1} = [2{}6 + \frac{2{}56}{0{}4}]^{-1} = [2{}6 + 6{}4]^{-1} = 1/9.
Paydadaki toplam değeri 99 olduğu için olasılık değeri 1/91/9 olur.

Key Concept

(M/M/c)(M/M/c) Çok Kanallı Kuyruk Modellerinde Kararlı Durum Olasılıkları
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

More questions from this topic