Examkin

Question

Difficulty: Medium(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir noterlik dairesinde evrak onayı yaptırmak isteyen vatandaşların varış süreci, saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Noterlikte aynı hızla ve birbirinden bağımsız çalışan 22 adet vezne (kanal) bulunmakta olup, her bir vezne bir vatandaşın işlemini ortalama 2020 dakikada (üstel dağılım) tamamlamaktadır. Buna göre, bu noterlikte bir vatandaşın işlem için kuyrukta bekleyeceği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

  1. A
    12
  2. 16Answer
  3. C
    20
  4. D
    24
  5. E
    36

Answer

Noterlikte bir vatandaşın kuyrukta bekleyeceği ortalama süre 16 dakikadır.
Ortalama kuyrukta bekleme süresinin 16 dakika olarak hesaplandığı seçenek doğrudur. Verilen λ=4\lambda=4, μ=3\mu=3 ve c=2c=2 değerleri ile sistemin yoğunluk oranı ρ=2/3\rho=2/3 olarak bulunur. Sistemin tamamen boş olma olasılığı P0=0,20P_0=0,20 olarak hesaplandıktan sonra kuyruk uzunluğu Lq=16/15L_q=16/15 bulunur. Little Yasası'na göre Wq=Lq/λW_q = L_q / \lambda işlemi yapıldığında 4/154/15 saat, yani 16 dakika sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Sistem parametrelerini belirle.
λ=4\lambda = 4 kişi/saat, c=2c = 2 kanal, μ=1/(20/60)=3\mu = 1 / (20/60) = 3 kişi/saat.
Hesaplamalarda birim uyuşmazlığı yaşamamak için tüm hızların saat cinsinden olması gerekir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla.
P0=[∑n=01(4/3)nn!+(4/3)22!(11−4/6)]−1=[1+1,33+4/3]−1=1/5=0,20P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{1} \frac{(4/3)^n}{n!} + \frac{(4/3)^2}{2!} \left( \frac{1}{1 - 4/6} \right) \right]^{-1} = \left[ 1 + 1,33 + 4/3 \right]^{-1} = 1/5 = 0,20.
M/M/cM/M/c modellerinde bekleme süresi formülleri P0P_0 değerine bağlıdır.
3
Ortalama kuyruk uzunluğunu (LqL_q) hesapla.
Lq=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=0,20×(4/3)2×(2/3)2×(1/3)2=1615≈1,067L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1 - \rho)^2} = \frac{0,20 \times (4/3)^2 \times (2/3)}{2 \times (1/3)^2} = \frac{16}{15} \approx 1,067 kişi.
Sistem yoğunluğu ρ=λ/(cμ)=4/6=2/3\rho = \lambda / (c\mu) = 4/6 = 2/3 kullanılarak kuyruktaki ortalama kişi sayısı bulunur.
4
Little yasası ile bekleme süresini (WqW_q) hesapla ve dakikaya çevir.
Wq=Lq/λ=(16/15)/4=4/15W_q = L_q / \lambda = (16/15) / 4 = 4/15 saat. Dakika cinsinden: 4/15×60=164/15 \times 60 = 16 dakika.
Little Yasası (Lq=λWqL_q = \lambda W_q) bekleme süresi ile kuyruk uzunluğu arasındaki temel ilişkidir.

Key Concept

(M/M/c) Çok Kanallı Kuyruk Modelinde Bekleme Süresi Analizi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

More questions from this topic