Bir kamu araştırma merkezinde yürütülen istatistiksel çalışmada, ilgilenilen rassal değişk… — KPSS İstatistik

Bir kamu araştırma merkezinde yürütülen istatistiksel çalışmada, ilgilenilen rassal değişkenin normal dağılıma sahip olduğu ve kitle varyansının $\sigma^2 = 1$ olduğu bilinmektedir. Kitle ortalaması $\mu$ ise bilinmeyen bir parametredir.

Bu kitleden rastgele seçilen $n$ birimlik $X_1, X_2, \ldots, X_n$ örneklemi kullanılarak, $\mu^2$ parametresi için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) elde edilmek istenmektedir. ( $\bar{X}$ , örneklem ortalamasını göstermektedir.)

Buna göre, Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca $\mu^2$ parametresi için elde edilecek UMVUE aşağıdakilerden hangisidir?

$\bar{X}^2 - \frac{1}{n}$ Answer
B
$\bar{X}^2$
C
$\bar{X}^2 + \frac{1}{n}$
D
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 - 1$
E
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2$

Answer

\bar{X}^2 - \frac{1}{n}

Varyansı bilinen normal dağılımda örneklem ortalaması (

\bar{X}

), kitle ortalaması (

\mu

) için tam ve yeterli bir istatistiktir. Varyansın tanımı gereği

E[\bar{X}^2] = V(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2

eşitliği geçerlidir. Örneklem ortalamasının varyansı

\frac{1}{n}

olduğundan

E[\bar{X}^2] = \frac{1}{n} + \mu^2

olur. Bu eşitlikten

\mu^2

çekildiğinde

E[\bar{X}^2 - \frac{1}{n}] = \mu^2

bulunur. Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu aranılan parametre için eşsiz UMVUE'dir. Bu nedenle doğru tahmin edici

\bar{X}^2 - \frac{1}{n}

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

Kitle ortalaması

\mu

için tam ve yeterli istatistiği belirlemek.

Varyansı bilinen normal dağılımda, kitle ortalaması

\mu

için örneklem ortalaması

\bar{X}

tam ve yeterli istatistiktir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE bulmak için öncelikle tam ve yeterli bir istatistik bulunmalıdır.

Tam ve yeterli istatistiğin dağılımını ve varyansını ifade etmek.

X_i \sim N(\mu, 1)

olduğundan,

\bar{X} \sim N(\mu, \frac{1}{n})

olur ve

V(\bar{X}) = \frac{1}{n}

olarak bulunur.

\mu^2

parametresine ulaşabilmek için

\bar{X}

'in ikinci momentine (beklenen değerinin karesi ile ilişkisine) ihtiyaç vardır.

\bar{X}^2

'nin beklenen değerini hesaplamak.

V(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2

formülünden,

\frac{1}{n} = E[\bar{X}^2] - \mu^2

denklemi yazılır ve

E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{1}{n}

elde edilir.

\bar{X}^2

'nin beklenen değeri kitle parametresi ile ilişkilendirilerek yan miktarı tespit edilir.

Yansız tahmin ediciyi oluşturarak Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak.

E[\bar{X}^2 - \frac{1}{n}] = \mu^2

elde edilir. Bu istatistik, tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olduğu için benzersiz UMVUE'dir.

Lehmann-Scheffe teoremi gereğince, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir.

Key Concept

Tam ve yeterli istatistiklere dayalı Lehmann-Scheffe Teoremi kullanılarak en iyi yansız tahmin edicinin (UMVUE) bulunması

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic