Examkin

Question

Difficulty: MediumBernoulli Dağılımı

Bir kalite kontrol uygulamasında incelenen bir parçanın kusurlu olma olasılığı pp, kusursuz olma olasılığı ise 1−p1-p olarak belirlenmiştir. Parçanın kusurlu olması durumu X=1X=1 (başarı), kusursuz olması durumu ise X=0X=0 (başarısızlık) olarak tanımlanarak bir XX rastgele değişkeni oluşturulmuştur.

Buna göre, bu XX Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı Var(X)Var(X) ve moment çıkaran fonksiyonu MX(t)M_X(t) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

  1. Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^tAnswer
  2. B
    Var(X)=p2Var(X) = p^2 ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t
  3. C
    Var(X)=pVar(X) = \sqrt{p} ve MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t
  4. D
    Var(X)=p(1+p)Var(X) = p(1+p) ve MX(t)=p+(1−p)etM_X(t) = p + (1-p)e^t
  5. E
    Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve MX(t)=p+(1−p)etM_X(t) = p + (1-p)e^t

Answer

Bernoulli rastgele değişkeninin varyansının p(1−p)p(1-p) ve moment çıkaran fonksiyonunun MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t olarak verildiği seçenektir.
XX bir Bernoulli rastgele değişkeni olduğundan yalnızca 0 ve 1 değerlerini alabilir. Beklenen değer E[X]=1⋅p+0⋅(1−p)=pE[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p ve ikinci moment E[X2]=12⋅p+02⋅(1−p)=pE[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p olarak hesaplanır. Buradan varyans Var(X)=E[X2]−(E[X])2=p−p2=p(1−p)Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p) olarak bulunur. Moment çıkaran fonksiyon (MGF) ise tanım gereği E[etX]E[e^{tX}] ifadesidir. Kesikli değişken için bu toplam açıldığında et(0)⋅P(X=0)+et(1)⋅P(X=1)=(1−p)+pete^{t(0)} \cdot P(X=0) + e^{t(1)} \cdot P(X=1) = (1-p) + pe^t elde edilir. Bu özelliklerin doğru verildiği seçenek kesin olarak doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
XX'in beklenen değerini ve ikinci momentini hesaplamak.
E[X]=1⋅p+0⋅(1−p)=pE[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p ve E[X2]=12⋅p+02⋅(1−p)=pE[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p bulunur.
Varyans formülünde yerine koymak için bu temel momentlere ihtiyaç vardır.
2
Varyansı Var(X)=E[X2]−(E[X])2Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 formülü ile elde etmek.
Var(X)=p−p2=p(1−p)Var(X) = p - p^2 = p(1-p) sonucu elde edilir.
Değişkenin ortalaması etrafındaki yayılımını matematiksel olarak bulmak için standart varyans tanımı kullanılır.
3
Moment çıkaran fonksiyonu MX(t)=E[etX]M_X(t) = E[e^{tX}] temel tanımından türetmek.
MX(t)=et⋅0⋅P(X=0)+et⋅1⋅P(X=1)=1⋅(1−p)+et⋅p=(1−p)+petM_X(t) = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t olarak hesaplanır.
Dağılımın tüm momentlerini teorik olarak üreten fonksiyonu kesikli değişken kurallarına göre oluşturmak için.

Key Concept

Bernoulli Dağılımının Varyansı ve Moment Çıkaran Fonksiyonu
Rate this question

Topics

Bernoulli Dağılımı

More questions from this topic