Examkin

Question

Difficulty: MediumTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir siber güvenlik merkezinde, sunuculara yapılan ardışık iki yetkisiz erişim girişimi arasındaki süre (milisaniye cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere şu şekildedir:

f(x)={xθ2e−x/θ,x>00,dig˘er durumlarda f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu merkezin log kayıtlarından rastgele seçilen nn adet (n>1)(n > 1) erişim süresi X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız örnekleminin ortalaması Xˉ\bar{X} olarak verilmiştir. Buna göre, ağ trafiği analizinde kritik bir ölçüt olan τ(θ)=1θ\tau(\theta) = \frac{1}{\theta} parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2n−1nXˉ\frac{2n-1}{n\bar{X}}Answer
  2. B
    2Xˉ\frac{2}{\bar{X}}
  3. C
    n−1nXˉ\frac{n-1}{n\bar{X}}
  4. D
    1Xˉ\frac{1}{\bar{X}}
  5. E
    2n−2nXˉ\frac{2n-2}{n\bar{X}}

Answer

τ(θ)=1θ\tau(\theta) = \frac{1}{\theta} parametresinin UMVUE'si 2n−1nXˉ\frac{2n-1}{n\bar{X}} istatistiğidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman UMVUE'dir. Verilen Gamma dağılımı üstel aileye ait olduğundan T=nXˉT = n\bar{X} istatistiği tam ve yeterlidir. Bu toplam istatistiği T∼Gamma(2n,θ)T \sim \text{Gamma}(2n, \theta) dağılımına sahiptir. E[1/T]E[1/T] integrali çözüldüğünde 1(2n−1)θ\frac{1}{(2n-1)\theta} sonucu elde edilir. Bu ifadeyi 1/θ1/\theta'ya eşitlemek için (2n−1)(2n-1) ile çarpmamız gerekir. Böylece 2n−1nXˉ\frac{2n-1}{n\bar{X}} yansız bir tahmin edici olur ve teorem gereği UMVUE şartlarını sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Yeterli ve tam istatistiğin bulunması.
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aile formunda yazıldığında T=∑i=1nXi=nXˉT = \sum_{i=1}^n X_i = n\bar{X} istatistiği θ\theta için tam ve yeterli istatistik olarak bulunur.
Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE bulmak için öncelikle tam ve yeterli bir istatistiğe ihtiyaç vardır.
2
TT'nin dağılımının belirlenmesi.
Xi∼Gamma(2,θ)X_i \sim \text{Gamma}(2, \theta) olduğundan, bağımsız toplamların dağılımı T∼Gamma(2n,θ)T \sim \text{Gamma}(2n, \theta) olarak elde edilir.
Yansız bir tahmin edici oluşturmak için TT'nin beklenen değer özelliklerini kullanmalıyız.
3
1/T1/T'nin beklenen değerinin hesaplanması.
E[1T]=∫0∞1t1Γ(2n)θ2nt2n−1e−t/θdt=Γ(2n−1)Γ(2n)θ=1(2n−1)θE\left[\frac{1}{T}\right] = \int_0^\infty \frac{1}{t} \frac{1}{\Gamma(2n)\theta^{2n}} t^{2n-1} e^{-t/\theta} dt = \frac{\Gamma(2n-1)}{\Gamma(2n)\theta} = \frac{1}{(2n-1)\theta} olarak hesaplanır.
1/θ1/\theta'nın yansız bir tahmin edicisini, tam ve yeterli istatistik olan TT'nin bir fonksiyonu olarak bulmak.
4
Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanması.
E[2n−1T]=1θE\left[\frac{2n-1}{T}\right] = \frac{1}{\theta} olduğundan ve TT tam yeterli istatistik olduğundan, 2n−1T=2n−1nXˉ\frac{2n-1}{T} = \frac{2n-1}{n\bar{X}} ifadesi UMVUE'dir.
Tam ve yeterli bir istatistiğin yansız fonksiyonu her zaman tekil UMVUE'dir (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici).

Key Concept

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)
Rate this question

Topics

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

More questions from this topic