Examkin

Question

Difficulty: HardMultinomiyal Dağılım

Bir devlet hastanesinin acil servisine başvuran hastalar, durumlarının aciliyetine göre dört farklı triyaj renk kodundan birine ayrılmaktadır. Uzun dönem kayıtlarına göre, bir hastanın yeşil (X1X_1), sarı (X2X_2), kırmızı (X3X_3) veya siyah (X4X_4) alana yönlendirilme olasılıkları sırasıyla 0,400,40, 0,300,30, 0,200,20 ve 0,100,10 olarak belirlenmiştir.

Belirli bir zaman diliminde acil servise birbirinden bağımsız olarak 200200 hastanın başvurduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, yeşil alana yönlendirilen hasta sayısı ile sarı veya kırmızı alana yönlendirilen toplam hasta sayısı arasındaki kovaryans, Cov(X1,X2+X3)Cov(X_1, X_2 + X_3) değeri kaçtır?

  1. −40-40Answer
  2. B
    −24-24
  3. C
    00
  4. D
    4040
  5. E
    4848

Answer

İstenen kovaryans değeri −40-40'tır.
Doğru hesaplama için iki yöntem kullanılabilir. Birincisi, kovaryansın doğrusallık özelliğini kullanarak işlemi Cov(X1,X2)+Cov(X1,X3)Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) şeklinde ayırmaktır. Formül gereği Cov(Xi,Xj)=−n⋅pi⋅pjCov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j'dir. Buradan (−200⋅0,40⋅0,30)+(−200⋅0,40⋅0,20)=−24−16=−40(-200 \cdot 0,40 \cdot 0,30) + (-200 \cdot 0,40 \cdot 0,20) = -24 - 16 = -40 bulunur. İkinci (ve daha pratik) yöntem ise, sarı ve kırmızı alanları tek bir kategori (Y=X2+X3Y = X_2 + X_3) olarak birleştirmektir. Bu yeni kategorinin olasılığı pY=0,30+0,20=0,50p_Y = 0,30 + 0,20 = 0,50 olur. Birleştirilmiş kategoriler de kendi içlerinde multinomiyal özellik gösterdiğinden, doğrudan Cov(X1,Y)=−n⋅p1⋅pY=−200⋅0,40⋅0,50=−40Cov(X_1, Y) = -n \cdot p_1 \cdot p_Y = -200 \cdot 0,40 \cdot 0,50 = -40 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen parametreleri tanımla.
Toplam hasta sayısı n=200n = 200. Olasılıklar: p1=0,40p_1 = 0,40, p2=0,30p_2 = 0,30, p3=0,20p_3 = 0,20, p4=0,10p_4 = 0,10.
Multinomiyal dağılım problemlerinde toplam deneme sayısı ve kategori olasılıkları formüllerin temelini oluşturur.
2
İstenen ifadeyi kovaryansın doğrusallık özelliğini kullanarak aç.
Cov(X1,X2+X3)=Cov(X1,X2)+Cov(X1,X3)Cov(X_1, X_2 + X_3) = Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3)
Bir rastgele değişkenin, diğer iki rastgele değişkenin toplamı ile olan kovaryansı, o değişkenin diğerleriyle olan kovaryanslarının toplamına eşittir.
3
Multinomiyal dağılımda iki farklı kategori arasındaki kovaryans formülünü uygula.
Cov(Xi,Xj)=−n⋅pi⋅pjCov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j formülüne göre:
Cov(X1,X2)=−200⋅0,40⋅0,30=−24Cov(X_1, X_2) = -200 \cdot 0,40 \cdot 0,30 = -24
Cov(X1,X3)=−200⋅0,40⋅0,20=−16Cov(X_1, X_3) = -200 \cdot 0,40 \cdot 0,20 = -16
Aynı toplam hacim (n) içindeki hücreler birbiriyle rekabet halindedir; biri artarken diğerinin alma potansiyeli düşeceği için aralarındaki ilişki negatiftir.
4
Bulunan kovaryans değerlerini topla.
(−24)+(−16)=−40(-24) + (-16) = -40
İkinci adımda kurulan eşitlik gereği nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Multinomiyal Dağılımda Kovaryans ve Birleştirme Özelliği

Alternative Method

Sarı ve kırmızı alanları tek bir 'Acil Müdahale' kategorisi olarak birleştirip yeni bir multinomiyal hücre oluşturabilirsiniz. Bu durumda Y=X2+X3Y = X_2 + X_3 ve olasılığı pY=0,30+0,20=0,50p_Y = 0,30 + 0,20 = 0,50 olur. Sorulan değer Cov(X1,Y)=−n⋅p1⋅pY=−200⋅0,40⋅0,50=−40Cov(X_1, Y) = -n \cdot p_1 \cdot p_Y = -200 \cdot 0,40 \cdot 0,50 = -40 şeklinde tek adımda bulunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Multinomiyal Dağılım

More questions from this topic