Examkin

Question

Difficulty: MediumMultinomiyal Dağılım

Bir kamu fabrikasında üretilen özel donanım parçalarının kalite kontrol testlerinde, parçaların %60'ının "kusursuz", %30'unun "kabul edilebilir hafif kusurlu" ve %10'unun "kullanılamaz hurda" olarak sınıflandırıldığı tespit edilmiştir. Bu üretim hattından rastgele ve birbirinden bağımsız olarak 50 adet parça seçilmiştir.

Seçilen örneklemdeki kusursuz parça sayısı X1X_1 ve kabul edilebilir hafif kusurlu parça sayısı X2X_2 ile gösterilmektedir.

Buna göre, X1X_1 ile X2X_2 arasındaki kovaryans değeri Cov(X1,X2)Cov(X_1, X_2) ve X1+X2X_1 + X_2 toplamının varyansı Var(X1+X2)Var(X_1 + X_2) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. −9-9 ve 4,54,5Answer
  2. B
    −9-9 ve 13,513,5
  3. C
    −9-9 ve 22,522,5
  4. D
    00 ve 22,522,5
  5. E
    99 ve 40,540,5

Answer

İlgili değerler sırasıyla −9-9 ve 4,54,5'tir.
Doğru yanıt, kovaryansın yapısal olarak negatif olduğunu (−npipj-np_ip_j) gösteren formül ile doğru hesaplandığı ve toplam varyansın bağımlılık gözetilerek formüle uygun olarak bulunduğu seçenektir. Formüller uygulandığında Cov=−9Cov = -9 ve Var=4,5Var = 4,5 sonuçlarına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Dağılım tipini ve parametrelerini belirleyin.
Deney n=50n=50 kez tekrarlanmıştır ve 3 ayrık sonuç (kusursuz, hafif kusurlu, hurda) vardır. Bu bir Multinomiyal dağılımdır. Olasılıklar p1=0,60p_1 = 0,60, p2=0,30p_2 = 0,30 ve p3=0,10p_3 = 0,10'dur.
Değişkenlerin dağılım özelliklerini bilmek, uygun kovaryans ve varyans formüllerini seçmek için temel adımdır.
2
Kusursuz parça sayısı (X1X_1) ile hafif kusurlu parça sayısı (X2X_2) arasındaki kovaryansı hesaplayın.
Cov(X1,X2)=−n⋅p1⋅p2=−50⋅0,60⋅0,30=−50⋅0,18=−9Cov(X_1, X_2) = -n \cdot p_1 \cdot p_2 = -50 \cdot 0,60 \cdot 0,30 = -50 \cdot 0,18 = -9
Multinomiyal dağılımda, toplam nn sabit olduğu için bir kategorideki artış diğer kategorilerde azalışa neden olur. Bu nedenle iki farklı kategori arasındaki kovaryans her zaman negatiftir ve formülü −n⋅pi⋅pj-n \cdot p_i \cdot p_j'dir.
3
X1+X2X_1 + X_2 toplamının varyansını, özelliklerini kullanarak veya doğrudan Binom dağılımı üzerinden hesaplayın.
Birinci yöntem: Var(X1+X2)=Var(X1)+Var(X2)+2Cov(X1,X2)Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) + 2Cov(X_1, X_2). Marjinal varyanslar Var(X1)=50⋅0,6⋅0,4=12Var(X_1) = 50 \cdot 0,6 \cdot 0,4 = 12 ve Var(X2)=50⋅0,3⋅0,7=10,5Var(X_2) = 50 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 10,5'tir. Yerine koyduğumuzda: 12+10,5+2(−9)=22,5−18=4,512 + 10,5 + 2(-9) = 22,5 - 18 = 4,5 bulunur.
İkinci (pratik) yöntem: X1+X2X_1+X_2 toplamı 'hurda olmayan parçaları' temsil eder. Bu toplamın dağılımı Binom'dur ve p=0,6+0,3=0,9p = 0,6 + 0,3 = 0,9'dur. Var(X1+X2)=n⋅p⋅(1−p)=50⋅0,9⋅0,1=4,5Var(X_1+X_2) = n \cdot p \cdot (1-p) = 50 \cdot 0,9 \cdot 0,1 = 4,5.
Doğrusal kombinasyonların varyansını hesaplarken, değişkenlerin bağımlı (kovaryansın sıfırdan farklı) olup olmadığına dikkat edilmesi gerekir.

Key Concept

Multinomiyal dağılımda marjinal varyanslar, kategoriler arası kovaryans ve bağımlı değişkenlerin doğrusal kombinasyonlarının varyansı
Rate this question

Topics

Multinomiyal Dağılım

More questions from this topic