Bir pazar araştırması şirketi, tüketicilerin belirli bir elektronik ürünü satın alma terci… — KPSS İstatistik

Bir pazar araştırması şirketi, tüketicilerin belirli bir elektronik ürünü satın alma tercihlerini dört farklı kategoride incelemektedir. Bu kategoriler ve rastgele seçilen bir tüketicinin bu kategorileri tercih etme olasılıkları şu şekildedir:

- Çevrimiçi mağaza ( $X_1$ ): $p_1 = 0,4$
- Fiziksel mağaza ( $X_2$ ): $p_2 = 0,3$
- Telefonla sipariş ( $X_3$ ): $p_3 = 0,2$
- Hiçbiri (Alışveriş yapmama) ( $X_4$ ): $p_4 = 0,1$

Araştırma kapsamında rastgele seçilen 50 tüketici incelenmiştir. Çevrimiçi mağaza ile fiziksel mağazayı tercih edenlerin sayısındaki fark $Y = X_1 - X_2$ ve fiziksel mağaza ile telefonla siparişi tercih edenlerin toplam sayısı $Z = X_2 + X_3$ olarak tanımlanmaktadır.

Buna göre, $Y$ ve $Z$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değeri, $Cov(Y, Z)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A
$-22,0$
$-17,5$ Answer
C
$-10,5$
D
$-3,5$
E
$-2,5$

Answer

İki yeni rastgele değişkenin arasındaki kovaryans değeri

-17,5

'tir.

Doğru değer, multinomiyal dağılımda varyans ve kovaryans formüllerinin lineer kombinasyonlara eksiksiz uygulanmasıyla elde edilir.

Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3) = Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2, X_3)

şeklinde açılır. Multinomiyal dağılımda

Var(X_i) = n p_i (1-p_i)

i \neq j

için

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

eşitlikleri geçerlidir. Formüldeki ilgili değerler yerine konulduğunda;

Cov(Y,Z) = -6 - 4 - 10,5 - (-3) = -17,5

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Cov(Y, Z) = Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3)

ifadesini kovaryansın lineerlik özelliğini kullanarak bileşenlerine ayırmak.

Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Cov(X_2, X_2) - Cov(X_2, X_3)

elde edilir.

Birleşik rastgele değişkenlerin kovaryansını hesaplayabilmek için ifadeyi temel değişkenlerin varyans ve kovaryanslarına indirgemek gerekir.

Cov(X_2, X_2)

ifadesinin

Var(X_2)

olduğunu belirterek denklemi son haline getirmek.

İfade

Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2, X_3)

halini alır.

Bir değişkenin kendisiyle olan kovaryansı kendi varyansına eşittir.

Multinomiyal dağılımın parametrelerini (

n=50

p_1=0,4

p_2=0,3

p_3=0,2

) kullanarak ilgili temel varyans ve kovaryans değerlerini hesaplamak.

Var(X_2) = n p_2 (1-p_2) = 50 \times 0,3 \times 0,7 = 10,5

Cov(X_1, X_2) = -n p_1 p_2 = -50 \times 0,4 \times 0,3 = -6

Cov(X_1, X_3) = -n p_1 p_3 = -50 \times 0,4 \times 0,2 = -4

Cov(X_2, X_3) = -n p_2 p_3 = -50 \times 0,3 \times 0,2 = -3

Açılımda yer alan her bir terimin sayısal değerini bulmak zorunludur.

Hesaplanan değerleri açılım formülünde yerine koyarak sonuca ulaşmak.

Cov(Y, Z) = (-6) + (-4) - (10,5) - (-3) = -10 - 10,5 + 3 = -17,5

Bileşen değerlerinin cebirsel toplamı, istenilen asıl kovaryans değerini verir.

Key Concept

Multinomiyal Dağılımda Marjinal Varyans ve Kovaryanslar

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic