Bir endüstriyel üretim hattında, belirli bir makine parçasının aşınma miktarını (milimetre… — KPSS İstatistik

Bir endüstriyel üretim hattında, belirli bir makine parçasının aşınma miktarını (milimetre cinsinden) modelleyen $X$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu parçanın değiştirilme maliyeti, aşınma miktarına bağlı olarak $Y = X^3 + 1$ (Türk Lirası) fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, $Y$ maliyet rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A
$f_Y(y) = \frac{1}{8}, \quad 0 < y < 2$
B
$f_Y(y) = \frac{9}{8}(y-1)^{4/3}, \quad 1 < y < 9$
$f_Y(y) = \frac{1}{8}, \quad 1 < y < 9$ Answer
D
$f_Y(y) = \frac{3}{8}(y-1)^{2/3}, \quad 1 < y < 9$
E
$f_Y(y) = \frac{1}{8}, \quad 1 < y < 8$

Answer

Doğru yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{1}{8}, \quad 1 < y < 9

olan seçenektir.

Tek değişkenli dönüşüm kuralına göre

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |\frac{d}{dy} g^{-1}(y)|

uygulanmalıdır. İşlemler adım adım yapıldığında,

(y-1)^{2/3}

ifadeleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece

\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{8}

sabiti kalır. Sınırlar da

y = x^3 + 1

kuralına göre

1 < y < 9

olarak dönüşür.

Step-by-Step Solution

Y = X^3 + 1

dönüşümünün ters fonksiyonunu (inverse) bulmak.

y = x^3 + 1 \implies x^3 = y - 1 \implies x = (y - 1)^{1/3}

elde edilir.

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde, PDF'i yeni değişkene bağlamak için x'i y cinsinden ifade etmeliyiz.

Ters fonksiyonun y'ye göre türevini alarak Jakobiyeni (

|dx/dy|

) hesaplamak.

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3}(y - 1)^{(1/3 - 1)} = \frac{1}{3}(y - 1)^{-2/3}

. Bu ifade tanımlı olduğu aralıkta pozitif olduğundan mutlak değeri kendisine eşittir.

Olasılığın korunması ilkesi gereği, yoğunluk fonksiyonlarının alan dönüşümü için Jakobiyen çarpanı zorunludur.

Yeni değişkenin (

Y

) tanım aralığını (sınırlarını) belirlemek.

X

'in sınırları

0 < x < 2

şeklindedir. Alt sınır için:

y = 0^3 + 1 = 1

. Üst sınır için:

y = 2^3 + 1 = 9

. Dolayısıyla yeni aralık

1 < y < 9

olur.

Eski yoğunluk fonksiyonu belirli bir aralıkta geçerlidir, dönüşümle beraber geçerlilik aralığı da değişir.

Değişken değiştirme formülünü uygulamak:

f_Y(y) = f_X(x) \cdot |\frac{dx}{dy}|

f_Y(y) = \frac{3}{8}((y - 1)^{1/3})^2 \cdot \frac{1}{3}(y - 1)^{-2/3} = \frac{3}{8}(y - 1)^{2/3} \cdot \frac{1}{3}(y - 1)^{-2/3} = \frac{1}{8}

(Sadeleştirmeler sonrası sabit 1/8 bulunur).

Orijinal fonksiyon ve Jakobiyen çarpanı kullanılarak

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonuna (PDF) ulaşılır.

Key Concept

Tek değişkenli sürekli rastgele değişken dönüşümlerinde Jakobiyen kullanılarak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) bulunması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics