Bir büyükşehir belediyesinde görevli trafik mühendisi, yeni kurulan akıllı sinyalizasyon s… — KPSS İstatistik

Bir büyükşehir belediyesinde görevli trafik mühendisi, yeni kurulan akıllı sinyalizasyon sistemine sürücülerin tepki sürelerini (milisaniye cinsinden) incelemektedir. Rastgele seçilen $n = 45$ sürücüden elde edilen verilerin normal dağılıma uygunluğunu test etmek isteyen mühendis, anakütle ortalamasını ( $\mu$ ) ve varyansını ( $\sigma^2$ ) bilmediği için bu değerleri örneklemden hesapladığı $\bar{X}$ ve $S^2$ istatistikleri ile tahmin etmiştir.

Mühendis, örneklemden elde ettiği ampirik birikimli dağılım fonksiyonu ile tahmin edilen parametrelere dayalı teorik normal dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farkı ( $D$ istatistiğini) hesaplamış; ancak karar aşamasında Lilliefors tablosu yerine standart Kolmogorov-Smirnov (K-S) kritik değerler tablosunu kullanmıştır.

Yapılan bu metodolojik hatanın istatistiksel testin gücü ve hata tipleri üzerindeki etkisi aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Hesaplanan test istatistiği yapay olarak küçüleceğinden, standart K-S kritik değerleri kullanıldığında testin gücü düşer ve gerçekte normal dağılmayan veriler için II. Tip Hata yapma olasılığı artar.Answer
B
Standart K-S tablosu Lilliefors'a göre daha küçük kritik değerler ürettiğinden, test gereğinden fazla hassaslaşır ve I. Tip Hata (alfa) olasılığı hedeflenen anlamlılık düzeyinin üzerine çıkar.
C
Örneklem hacmi $n < 50$ olduğu için standart K-S ve Lilliefors testleri asimptotik özelliklerini yitirir; bu nedenle kullanılan tablodan bağımsız olarak sonucun güvenilirliği kalmaz.
D
Tahmin edilen parametreler teorik dağılımı gerçek anakütle dağılımından uzaklaştıracağından, standart K-S tablosu kullanımı $D$ istatistiğini büyüterek $H_0$ hipotezinin her durumda reddedilmesine neden olur.
E
Parametreler örneklemden tahmin edildiğinde dağılım değişeceği için, K-S tablosu yerine verinin standart hatasına bağlı olan $(n-3)$ serbestlik dereceli Ki-Kare tablosu kullanılmalıdır.

Answer

Hesaplanan test istatistiği yapay olarak küçüleceğinden, standart K-S kritik değerleri kullanıldığında testin gücü düşer ve gerçekte normal dağılmayan veriler için II. Tip Hata yapma olasılığı artar.

Lilliefors testi, standart Kolmogorov-Smirnov testinin anakütle parametreleri (

\mu

\sigma^2

) bilinmeyip örneklem verisinden tahmin edildiği durumlar için uyarlanmış halidir. Ortalama ve varyans doğrudan veri setinden hesaplandığında, kurulan teorik normal dağılım eğrisi mevcut veriye 'yapay olarak' fazla uyum sağlar. Bunun matematiksel sonucu, ampirik dağılım ile teorik dağılım arasındaki maksimum mutlak farkı ölçen

D

istatistiğinin, parametrelerin önceden bilindiği duruma kıyasla daha küçük çıkmasıdır. Standart K-S tablosundaki kritik değerler, bağımsız parametre varsayımıyla hesaplandığı için büyüktür. Yapay olarak küçülmüş bir

D

istatistiğini, standart K-S tablosundaki büyük eşik değerleriyle karşılaştırmak, istatistiksel olarak

H_0

(veriler normal dağılmaktadır) hipotezini reddetmeyi aşırı derecede zorlaştırır. Dolayısıyla, gerçekte normal dağılıma uymayan veriler için bile

H_0

reddedilemez duruma gelir. Bu da testin gücünün (gerçekte yanlış olan

H_0

'ı reddedebilme yetisi) önemli ölçüde düşmesi ve II. Tip Hata (yanlış

H_0

'ı kabul etme) olasılığının artması anlamına gelir.

Step-by-Step Solution

Standart Kolmogorov-Smirnov testinin parametre varsayımını belirle.

Standart K-S testi, anakütle parametrelerinin (ortalama ve varyans) testten önce kesin olarak bilindiğini varsayar.

Kritik değerler, ampirik dağılım ile tamamen bağımsız bir teorik dağılımın karşılaştırıldığı varsayımıyla türetilmiştir.

Parametrelerin örneklemden tahmin edilmesinin

D

istatistiğine etkisini analiz et.

Parametreler veriden tahmin edildiğinde (

\bar{X}

S^2

), oluşturulan teorik dağılım veriye 'kendi parametreleri üzerinden' uyarlanır. Bu durum ampirik eğri ile teorik eğriyi birbirine yaklaştırır, maksimum fark olan

D

değeri yapay olarak küçülür.

Örneklem, kendi ortalaması etrafında kümelendiği için sapmalar minimize edilir.

Küçülmüş

D

değerinin standart K-S kritik değerleriyle karşılaştırılmasının sonucunu değerlendir.

Standart K-S kritik değerleri, küçülmüş bir

D

değeri için fazla 'büyük' (tutucu) kalır. H0'ı reddetmek için gereken eşik aşılamaz.

Lilliefors düzeltmesinin amacı tam da bu eşiği aşağı çekmektir.

H0'ı reddedememenin test gücü ve hata tipleri üzerindeki sonucunu belirle.

Gerçekte normal dağılıma uymayan veriler için bile H0 reddedilemez. Bu durum, yanlış olan H0'ı kabul etme yani II. Tip Hata olasılığını artırır ve testin gücünü (

1-\beta

) düşürür.

Test, dağılımdaki normallikten sapmaları tespit edecek hassasiyeti (gücü) kaybeder.

Key Concept

Lilliefors Testinde Parametre Tahmininin Etkisi ve II. Tip Hata

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic